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2.已知直線y=-12x+2分別交x、y軸于點(diǎn)A、B,點(diǎn)C為線段OA的中點(diǎn),動點(diǎn)P從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā),以2個單位長度/秒的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動,動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),以2個單位長度/秒的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動.過點(diǎn)Q作QM∥AB交x軸于點(diǎn)M,動點(diǎn)P、Q同時出發(fā),其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn),另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒,PM的長為y個單位長度.
(1)∠BCO=45°°;
(2)求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍;
(3)是否存在時間t,使得以PC為直徑的⊙D與直線QM相切?若存在,求t的值;不存在,說明理由.

分析 (1)先分別求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo),從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo),從而得到OB=OC,于是可求得∠BCO的度數(shù);
(2)先由相似三角形的性質(zhì)得到CM的長,然后依據(jù)PM=CO+CM-OP可求得y與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C的左邊時,可求得DM=1,由tan∠NMD=12,可求得DN=55,然后可求得DC=1-t,從而可求得t的值;當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C的右側(cè)時,可求得DC=t-1,DN=55,從而可求得t的值.

解答 解:(1)∵令y=0得-12x+2=0,解得:x=4,
∴A(0,4).
∴OA=4.
∵點(diǎn)C為線段OA的中點(diǎn),
∴OC=2.
∵令x=0得:y=2,
∴B(0,2).
∴OB=2.
∴OB=OC.
又∵∠BOC=90°,
∴∠BCO=45°.
故答案為:45.
(2)如圖1所示:

∵OB=CO=2,∠BOC=90°,
∴BC=2OB=22
∵OA=4,OC=2,
∴AC=2.
設(shè)點(diǎn)P和點(diǎn)Q的運(yùn)動時間為t,則OP=2t,QP=2t.
∵QM∥AB,
CQBC=CMAC,即2t22=CM2,解得CM=t.
∴PM=CO+CM-OP=2+t-2t=2-t(0≤t≤2).
∴y與t的函數(shù)關(guān)系是為y=2-t(0≤t≤2).
(3)如圖2所示:設(shè)N為切線,連接DN.

∵OP=2t,OC=2,
∴PC=2-2t.
∴PD=DC=1-t.
∴DM=PM-PD=2-t-(1-t)=1.
∵M(jìn)Q是圓D的切線,
∴DN⊥QM.
∵OB=2,OA=4,
∴tan∠BAO=12
∵QM∥AB,
∴tan∠NMP=12
∴DN=55DM=55
∴1-t=55,解得:t=155
如圖3所示:設(shè)N為切線,連接DN.

∵OP=2t,OC=2,
∴PC=2t-2.
∴DC=DP=t-1.
∴DM=t-1+2-t=1.
∴DN=55
∴t-1=55,解得:t=1+55
綜上所述,當(dāng)t=1-55或t=1+55時,以PC為直徑的⊙D與直線QM相切.

點(diǎn)評 本題主要考查的是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用,解答本題主要應(yīng)用了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系、等腰直角三角形的判定、切線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、相似三角形的性質(zhì)和判定,求得DM、DN、CD的長是解題的關(guān)鍵.

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