Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A（-3，0），B（0，3），點(diǎn)C在x軸上，AD⊥BC于D，交y軸于點(diǎn)E（0，1）．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖1，將線段CB繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°后得線段CF，連接BF．求△BCF的面積；
（3）在圖2中，若∠APO=45°，求證：PA⊥PB．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△AOE≌△BOC得OE=OC即可求出點(diǎn)C坐標(biāo)．
（2）先求出AE，根據(jù)BC=CF=AE即可求出△BCF面積．
（3）由∠APO=∠ABO=45°得A、P、B、O四點(diǎn)共圓，得到∠BPO=∠OAB=45°，即∠APB=∠APO+∠BPO=90°得到證明．

解答 （1）解：∵AD⊥BC，
∴∠EAO+∠BCO=90°，
∵∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠EAO=∠CBO，
在△AOE或△BOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠CBO}\\{AO=BO}\\{∠AOE=∠BOC=90°}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BOC，
∴OE=OC=1，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（1，0）．
（2）∵△AOE≌△BOC，
∴BC=AE=$\sqrt{A{O}^{2}+E{O}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵BC=CF=$\sqrt{10}$，∠BCF=90°，
∴S_△BCF=$\frac{1}{2}$BC•CF=$\frac{1}{2}$$•\sqrt{10}$$•\sqrt{10}$=5．
（3）∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∴∠APO=∠ABO=45°，
∴A、P、B、O四點(diǎn)共圓，
∴∠BPO=∠OAB=45°，
∴∠APB=∠APO+∠BPO=90°，
∴PA⊥PB．

點(diǎn)評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、四點(diǎn)共圓以及有關(guān)圓的有關(guān)知識，尋找全等三角形是解決問題的關(guān)鍵．