【題目】如圖1,已知正方形ABCD的頂點(diǎn)A,B分別在y軸和x軸上,邊CD交x軸的正半軸于點(diǎn)E.
(1)若A(0,a),且,求A點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)在(l)的條件下,若3AO=4EO,求D點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)如圖2,連結(jié)AC交x軸于點(diǎn)F,點(diǎn)H是A點(diǎn)上方y軸上一動(dòng)點(diǎn),以AF、AH為邊作平行四邊形AFGH,使G點(diǎn)恰好落在AD邊上,試探討BF,HG與DG的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
【答案】(1)A(0,4)或(0,);(2)D(4,2)或(4,);(3)2HG2+DG2=4BF2,詳見解析
【解析】
(1)由,得出a=±4,即可得出結(jié)果;
(2)當(dāng)A(0,4)時(shí),作DN⊥OE于N,作AM⊥DN于M,連AE,由AAS證得△AOB≌△AMD,得出AM=AO=4,求出EO=3,在Rt△AOE中,AE2=AO2+EO2=25,在Rt△ADE中,AD2+DE2=AE2,設(shè)D(4,m),代入求出m=2,即可得出結(jié)果;同理當(dāng)A(0,-4)時(shí),可求出D點(diǎn)坐標(biāo);
(3)作FP⊥AD于P,連DF,在Rt△AFP中,得到HG=AF=PF,證明BF=DF與BF=GF,得出點(diǎn)P是DG的中點(diǎn),在Rt△PDF中,PF2+DP2=DF2,即()2+()2=BF2,即可得出結(jié)果.
(1)解:∵,
∴a=±4,
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,4)或(0,-4);
(2)當(dāng)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,4)時(shí)
作DN⊥OE于N,作AM⊥DN于M,連AE,如圖1所示:
則∠BAD=∠OAM=90°,
即∠BAO+∠OAD=∠OAD+∠DAM,
∴∠BAO=∠DAM,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠ADE=90°,
在△AOB與△AMD中,
,
∴△AOB≌△AMD(AAS),
∴AM=AO=4,
∴四邊形AONM是正方形,
∴MN=ON=4,
∵3AO=4EO,
∴EO=3,
在Rt△AOE中,AE2=AO2+EO2=42+32=25,
在Rt△AMD中,AD2=AM2+DM2,
在Rt△DNE中,ED2=EN2+DN2,
在Rt△ADE中,AD2+DE2=AE2,
∴AM2+DM2+EN2+DN2=25,
設(shè)D(4,m),則DM=4m,EN=43=1,DN=m,
∴4span>2+(4m)2+12+m2=25,
∴m=2,
∴D(4,2)
當(dāng)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-4)時(shí),
同理可得D(4,-2)
(3)解:2HG2+DG2=4BF2,理由如下:
過點(diǎn)F作FP⊥AD于P,連DF,如圖2所示:
∵四邊形AFGH是平行四邊形,
∴HG=AF,AH∥GF,
∴∠FGA=∠GAH,
∴∠FGD=∠OAG,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴BC=DC,∠CAD=∠BCF=∠DCF=45°,∠BAD=∠CDA=∠ABC=90°,
∴△APF是等腰直角三角形,
∴PF=AP,
∴
∴AF=PF,
∴HG=AF=PF,
故PF=,
在△BCF和△DCF中,
,
∴△BCF≌△DCF(SAS),
∴BF=DF,∠CBF=∠CDF,
∵∠FDG=90°∠CDF,∠ABO=90°∠CBF,
∴∠FDG=∠ABO,
∵∠OAG+∠OAB=90°,∠ABO+∠OAB=90°,
∴∠OAG=∠ABO,
∴∠FGD=∠FDG,
∴GF=DF=BF,
∴點(diǎn)P是DG的中點(diǎn),
∴DP=,
在Rt△PDF中,PF2+DP2=DF2,
即()2+()2=BF2,
∴2HG2+DG2=4BF2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,數(shù)軸上有三個(gè)點(diǎn)A、B、C,表示的數(shù)分別是-4、-2、3,請回答:
(1)若C、B兩點(diǎn)的距離與A、B兩點(diǎn)距離相等,則需將點(diǎn)C向左移動(dòng)________個(gè)單位;
(2)若移動(dòng)A、B、C三點(diǎn)中的兩點(diǎn),使三個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)相同,移動(dòng)方法有________種,其中移動(dòng)所走的距離之和最小的是________個(gè)單位;
(3)若在B處有一小青蛙,一步跳一個(gè)單位長,小青蛙第一次先向左跳一步,第2次向右跳3步,第3次向再向左跳5步,第4次再向右跳7步……,按此規(guī)律繼續(xù)下去,那么跳第100次時(shí)落腳點(diǎn)表示的數(shù)是________;
(4)若有兩只小青蛙M、N,它們在數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)分別為整數(shù)x、y,且|x-2|+|y+3|=2,求兩只青蛙M、N之間的距離.
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【題目】把下列各數(shù)填入相應(yīng)集合內(nèi):﹣2,,4,1.1010010001,,π,0.3%,,﹣|﹣3|,(﹣1)2012
整數(shù)集合:[_____…];
分?jǐn)?shù)集合:[_____…];
無理數(shù)集合:[_____…];
正數(shù)集合:[_____…].
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,根據(jù)圖中信息解答下列問題:
(1)關(guān)于x的不等式ax+b>0的解集是 ;
(2)關(guān)于x的不等式mx+n<1的解集是 ;
(3)當(dāng)x滿足 的條件時(shí),y1y2;
(4)當(dāng)x滿足 的條件時(shí),0<y2<y1.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了幫助湖北省武漢市防控新冠肺炎,某愛心組織籌集了部分資金,計(jì)劃購買甲、乙兩種救災(zāi)物資共2000件送往災(zāi)區(qū),已知每件甲種物資的價(jià)格比每件乙種物資的價(jià)格貴10元,用350元購買甲種物資的件數(shù)恰好與用300元購買乙種物資的件數(shù)相同.
(1)求甲、乙兩種救災(zāi)物資每件的價(jià)格各是多少元?
(2)經(jīng)調(diào)查,災(zāi)區(qū)對甲種物資的需求量不少于乙種物資的1.5倍,若該愛心組織如何購買這2000件物資,才能使得購買資金最少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】出租車駕駛員從公司出發(fā),在南北向的人民路上連續(xù)接送5批客人,行駛路程記錄如下(規(guī)定向南為正,向北為負(fù),單位:km):
第1批 | 第2批 | 第3批 | 第4批 | 第5批 |
3 km | 10 km | -4 km | -3 km | -7 km |
(1)接送完第5批客人后,該駕駛員在公司什么方向,距離公司多少千米?
(2)該駕駛員離公司距離最遠(yuǎn)是多少千米?
(3)若該出租車每千米耗油0.2升,那么在這過程中共耗油多少升?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】周日上午小明從家跑步去圖書館,在那里看了一會兒書后又走到文具店去買筆記本,然后散步回家.下圖反映的是小明離家的距離 與所用時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系,據(jù)此回答問題:
(1)圖書館離小明家 ,小明從家到圖書館用了 .
(2)圖書館離文具店____.
(3)小明在文具店停留了
(4)小明從文具店回到家的平均速度是多少千米/小時(shí)?(寫出簡要計(jì)算過程)
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【題目】如圖,等邊△ABC內(nèi)接于⊙O,P是上任一點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合),連AP、BP,過點(diǎn)C作CM∥BP交PA的延長線于點(diǎn)M.
(1)填空:∠APC=____ 度,∠BPC=____度;
(2)求證:△ACM≌△BCP;
(3)若PA=1,PB=2,求梯形PBCM的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一種竹制躺椅如圖①所示,其側(cè)面示意圖如圖②③所示,這種躺椅可以通過改變支撐桿CD的位置來調(diào)節(jié)躺椅舒適度.假設(shè)AB所在的直線為地面,已知AE=120 cm,當(dāng)把圖②中的支撐桿CD調(diào)節(jié)至圖③中的C′D的位置時(shí),∠EAB由20°變?yōu)?/span>25°.
(1)你能求出調(diào)節(jié)后該躺椅的枕部E到地面的高度增加了多少嗎?(結(jié)果精確到0.1 cm,參考數(shù)據(jù):sin 20°≈0.342 0,sin 25°≈0.422 6)
(2)已知點(diǎn)O為AE的一個(gè)三等分點(diǎn),根據(jù)人體工程學(xué),當(dāng)點(diǎn)O到地面的距離為26 cm時(shí),人體感覺最舒適.請你求出此時(shí)枕部E到地面的高度.
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