【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx軸交于點(diǎn)A、B,且A點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),與y軸交于點(diǎn)C01

1)求拋物線的解析式,并求出點(diǎn)B坐標(biāo);

2)過點(diǎn)BBD∥CA交拋物線于點(diǎn)D,連接BCCAAD,求四邊形ABCD的周長;(結(jié)果保留根號(hào)

3)在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P,過點(diǎn)PPE垂直于x軸,垂足為點(diǎn)E,使以B、PE為頂點(diǎn)的三角形與△CBD相似?若存在請求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】(1y=-x2+1,B-1,0).(25+,4(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(, ).

【解析】試題分析:(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式,點(diǎn)B坐標(biāo)可由對(duì)稱性質(zhì)得到,或令y=0,由解析式得到;

2)關(guān)鍵是求出點(diǎn)D的坐標(biāo),然后利用勾股定理分別求出四邊形ABCD四個(gè)邊的長度;

3)本問為存在型問題.可以先假設(shè)存在,然后按照題意條件求點(diǎn)P的坐標(biāo),如果能求出則點(diǎn)P存在,否則不存在.注意三角形相似有兩種情形,需要分類討論.

試題解析:(1點(diǎn)A10)和點(diǎn)C0,1)在拋物線y=ax2+b上,

,

解得:a=-1,b=1,

拋物線的解析式為:y=-x2+1

拋物線的對(duì)稱軸為y軸,則點(diǎn)B與點(diǎn)A1,0)關(guān)于y軸對(duì)稱,

∴B-10).

2)設(shè)過點(diǎn)A1,0),C01)的直線解析式為y=kx+b,可得:

解得k=-1,b=1,∴y=-x+1

∵BD∥CA

可設(shè)直線BD的解析式為y=-x+n,

點(diǎn)B-1,0)在直線BD上,∴0=1+n,得n=-1

直線BD的解析式為:y=-x-1

y=-x-1代入拋物線的解析式,得:-x-1=-x2+1,解得:x1=2,x2=-1,

∵B點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1,則D點(diǎn)橫坐標(biāo)為2,

D點(diǎn)縱坐標(biāo)為y=-2-1=-3

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-3).

如圖所示,過點(diǎn)DDN⊥x軸于點(diǎn)N,則DN=3,AN=1,BN=3,

RtBDN中,BN=DN=3,由勾股定理得:BD=3;

RtADN中,DN=3,AN=1,由勾股定理得:AD=;

OA=OB=OC=1OCAB,由勾股定理得:AC=BC=

四邊形ABCD的周長為:AC+BC+BD+AD=++3+=5+

∵AB=2,OC=1,DN=3

四邊形ABCD的面積為:

3)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P,則△BPE△CBD相似有兩種情形:(I)若△EPB∽△BDC,如圖所示,

則有

PE=3BE

設(shè)OE=mm0),則E-m,0),BE=1-mPE=3BE=3-3m

點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-m,3-3m).

點(diǎn)P在拋物線y=-x2+1上,

∴3-3m=--m2+1,解得m=1m=2,

當(dāng)m=1時(shí),點(diǎn)E與點(diǎn)B重合,故舍去;當(dāng)m=2時(shí),點(diǎn)EOB左側(cè),點(diǎn)Px軸下方,不符合題意,故舍去.

因此,此種情況不存在;

II)若△EBP∽△BDC,如圖所示,

則有,

,

∴BE=3PE

設(shè)OE=mm0),則Em,0),BE=1+mPE=BE=1+m=+m

點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m, +m).

點(diǎn)P在拋物線y=-x2+1上,

+m=-m2+1,解得m=-1m=

m0,故m=-1舍去,m=,

點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為: +m=+×=,

點(diǎn)P的坐標(biāo)為(, ).

綜上所述,存在點(diǎn)P,使以B、PE為頂點(diǎn)的三角形與CBD相似,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(, ).

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