Question

【題目】已知函數(shù)y＝﹣x2+bx+c（其中b，c是常數(shù)）

（1）四位同學(xué)在研究此函數(shù)時(shí)，甲發(fā)現(xiàn)當(dāng)x＝0時(shí)，y＝5；乙發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最大值為9；丙發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x＝2；丁發(fā)現(xiàn)4是方程﹣x2+bx+c＝0的一個(gè)根．已知這四位同學(xué)中只有一位發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是錯(cuò)誤的，請(qǐng)直接寫出錯(cuò)誤的那個(gè)人是誰，并求出此函數(shù)表達(dá)式；

（2）在（1）的條件下，函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象頂點(diǎn)為A，與x軸正半軸交點(diǎn)為B，與y軸的交點(diǎn)為C，若將該圖象向下平移m（m＞0）個(gè)單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在△ABC的內(nèi)部（不包括△ABC的邊界），求m的取值范圍；

（3）若c＝b2，當(dāng)﹣2≤x≤0時(shí)，函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的最大值為5，求b的值．

Answer 1

【答案】（1）錯(cuò)誤的是丁，函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣x2+4x+5；（2）0＜m＜6；（3）b＝或﹣2．

【解析】

（1）假設(shè)兩位同學(xué)的結(jié)論正確，用其去驗(yàn)證另外兩個(gè)同學(xué)的結(jié)論，只要找出一個(gè)正確一個(gè)錯(cuò)誤，即可得出結(jié)論；

（2），則點(diǎn)，平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，按照平移后的圖象頂點(diǎn)在點(diǎn)A、H之間求解即可；

（3）當(dāng)時(shí)，寫出解析式，分、、三種情況，分別求解即可．

解：（1）甲發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，，則；乙發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最大值為9，即；

丙發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線，則，即；丁發(fā)現(xiàn)4是方程的一個(gè)根，則，

假設(shè)甲和丙正確，即，，則即，故乙正確，而丁錯(cuò)誤，

故錯(cuò)誤的是丁，函數(shù)的表達(dá)式為：；

（2），則點(diǎn)，平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，

，令，則或，故點(diǎn)，而點(diǎn)，

過點(diǎn)A作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H，

由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得，直線BC的表達(dá)式為：，

當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)，

函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在的內(nèi)部，則，

解得：；

（3），則拋物線的表達(dá)式為：，函數(shù)的對(duì)稱軸為：，

當(dāng)時(shí)，即，

則時(shí)，y取得最大值，即，解得：舍去負(fù)值；

當(dāng)時(shí)，即，

當(dāng)時(shí)，y取得最大值，即，解得：舍去；

當(dāng)時(shí)，

則時(shí)，y取得最大值，即，解得： （不合題意舍去；

綜上，或．