Question

【題目】如圖，A、B是圓O上的兩點(diǎn)，∠AOB=120°，C是AB弧的中點(diǎn)．

（1）求證：AB平分∠OAC；
（2）延長OA至P使得OA=AP，連接PC，若圓O的半徑R=1，求PC的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OC，

∵∠AOB=120°，C是AB弧的中點(diǎn)，

∴∠AOC=∠BOC=60°，

∵OA=OC，

∴△ACO是等邊三角形，

∴OA=AC，同理OB=BC，

∴OA=AC=BC=OB，

∴四邊形AOBC是菱形，

∴AB平分∠OAC

（2）

解：連接OC，

∵C為弧AB中點(diǎn)，∠AOB=120°，

∴∠AOC=60°，

∵OA=OC，

∴OAC是等邊三角形，

又∵OA=AP，

∴AP=AC，

∴∠APC=30°，

∴△OPC是直角三角形，

∴ ．

【解析】（1）連接OC，由∠AOB=120°，C是AB弧的中點(diǎn)，∠AOC=∠BOC=60°，即可證明△ACO是等邊三角形，同理可證△BCO是等邊三角形，即OA=OB=AC=BC，則四邊形AOBC是菱形，根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角，可得AB平分∠OAC；
（2）證△OPC是直角三角形即可求得.