Question

12．如圖，在平面直角坐標系中，點B的坐標為（0，2），若AB=4，且∠ABO=120°，則點A的坐標為（2，2$\sqrt{3}$+2）或（-2，2$\sqrt{3}$+2）．

Answer 1

分析 分類討論：當點A在第一象限內，作AH⊥y軸于H，如圖，由∠ABO=120°得到∠ABH=60°，則利用含30度的直角三角形三邊的關系得到HB=$\frac{1}{2}$AB=2，AH=$\sqrt{3}$BH=2$\sqrt{3}$，于是可得A點坐標為（2，2+2$\sqrt{3}$）；當點A在第二象限內，同樣方法可得A點坐標為（-2，2+2$\sqrt{3}$）．

解答 解：當點A在第一象限內，作AH⊥y軸于H，如圖，
∵∠ABO=120°，
∴∠ABH=60°，
在Rt△ABH中，∵∠A=30°，
∴HB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2，
AH=$\sqrt{3}$BH=2$\sqrt{3}$，
∴OH=OB+BH=2+2$\sqrt{3}$，
∴A點坐標為（2，2+2$\sqrt{3}$）；
當點A在第二象限內，同樣方法可得A點坐標為（-2，2+2$\sqrt{3}$）．
故答案為（2，2+2$\sqrt{3}$），（-2，2+2$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查了勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．記住含30度的直角三角形三邊的關系．