Question

【題目】設拋物線與x軸交于兩個不同的點A(-1，0)、B(m，0)，與y軸交于點C.且∠ACB=90°．

(1)求m的值和拋物線的解析式；

(2)已知點D(1，n )在拋物線上，過點A的直線交拋物線于另一點E．若點P在x軸上，以點P、B、D為頂點的三角形與△AEB相似，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）m=4，y=x2-x-2；（2） (，0)或 (-，0)

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的解析式可知OC=2，由于∠ACB=90°，可根據(jù)△AOC∽△COB求出OB的長，即可得出B點的坐標，也就得出了m的值．然后根據(jù)A，B，C三點的坐標，用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式；

（2）先求出點D的坐標，然后分情況進行討論，如果過E作x軸的垂線，不難得出∠DBx=135°，而∠ABE是個鈍角但小于135°，因此P點只能在B點左側(cè)．可分兩種情況進行討論：①∠DPB=∠ABE，即△DBP∽△EAB，可得出BP：AP=BD：AE，可據(jù)此來求出P點的坐標．②∠PDB=∠ABE，即△DBP∽△BAE，方法同①，只不過對應的成比例線段不一樣．綜上所述可求出符合條件的P點的值．

解：（1）令x=0，得y=-2，

∴C(0，-2)，

∵∠ACB=90°，CO⊥AB，

∴△AOC∽△COB，

∴OAOB=OC2，

∴OB== =4，

∴m=4，

∴B(4，0)，

將A(-1，0)，B(4，0)代入y=ax2+bx-2得，

解得，

∴拋物線的解析式為y=x2-x-2；

（2）當x=1時，y=-- 2=-3，

∴D(1，-3 )．

解得，或，

∴E（6，7），

過E作EH⊥x軸于H，則H(6，0)，

∴AH=EH=7，

∴∠EAH=45°，

過D作DF⊥x軸于F，則F(1，0)，

∴BF=DF=3，

∴∠DBF=45°，

∴∠EAH=∠DBF=45°，

∴∠DBH=135°，90°＜∠EBA＜135°，

則點P只能在點B的左側(cè)，有以下兩種情況：

①若△DBP1∽△EAB，則，

∵AB=5，BD=，AE=，

∴BP1===，

∴OP1=4-=，

∴P1(，0)；

②若△DBP2∽△BAE，則，

∵AB=5，BD=，AE=，

∴BP2==，

∴OP2=-4=，

∴P2(-，0)．

綜合①、②，得點P的坐標為： (，0)或 (-，0)．