Question

17．如圖，在菱形ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，∠ABC=60°，把菱形ABCD繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)α得到菱形A′BC′D′，其中點(diǎn)D′落在BC的延長線上，點(diǎn)C的運(yùn)動路徑為$\widehat{CC′}$，則圖中陰影部分的面積為3$\sqrt{3}$-π．

Answer 1

分析 根據(jù)菱形及旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得∠C′BC=∠A′BA=α=30°、BC′=BC=2$\sqrt{3}$，作C′E⊥BD′于點(diǎn)E，在RT△BC′E中可得BC、C′E的長度，由等腰三角形可知BD′=2BC，最后根據(jù)陰影部分面積=S_△BC′D′-S_扇形CBC′列式計算可得．

解答 解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠A=120°，AB=BC=2$\sqrt{3}$
又∵菱形A′BC′D′是由菱形ABCD繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)α得到，
∴∠A′=∠A=120°，A′B=A′D′，∠C′BC=∠A′BA=α，
∴∠C′BC=∠A′BA=α=30°，BC′=BC=2$\sqrt{3}$，
如圖，過點(diǎn)C′作C′E⊥BD′于點(diǎn)E，

在RT△BC′E中，BE=BC′•cos∠C′BC=2$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，
C′E=BC′sin∠C′BC=2$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴BD′=2BC=6，
則陰影部分面積=S_△BC′D′-S_扇形CBC′
=$\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{3}$-$\frac{30•π•（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$
=3$\sqrt{3}$-π，
故答案為：3$\sqrt{3}$-π．

點(diǎn)評 本題主要考查了菱形及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、扇形面積的計算，根據(jù)題意知陰影部分面積=S_△BC′D′-S_扇形CBC′是解題的根本，熟練根據(jù)菱形及旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求得所需線段的長和角的度數(shù)是關(guān)鍵．