Question

8．如圖，四邊形ABCD為正方形．在邊AD上取一點E，連接BE，使∠AEB=60°．
（1）利用尺規(guī)作圖補全圖形；（要求：保留作圖痕跡，并簡述作圖步驟）
（2）取BE中點M，過點M的直線交邊AB，CD于點P，Q．
①當(dāng)PQ⊥BE時，求證：BP=2AP；
②當(dāng)PQ=BE時，延長BE，CD交于N點，猜想NQ與MQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖，分別以點B、C為圓心，BC長為半徑作弧交正方形內(nèi)部于點T，連接BT并延長交邊AD于點E； 
（2）連接PE，先證明PQ垂直平分BE．得到PB=PE，再證明∠APE=60°，得到∠AEP=30°，利用在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半，即可解答；
（3）NQ=2MQ或NQ=MQ，分兩種情況討論 作出輔助線，證明△ABE≌△FQP，即可解答．

解答 解：（1）如圖1，分別以點B、C為圓心，BC長為半徑作弧交正方形內(nèi)部于點T，連接BT并延長交邊AD于點E； 

（2）連接PE，如圖2，

∵點M是BE的中點，PQ⊥BE
∴PQ垂直平分BE．
∴PB=PE，
∴∠PEB=∠PBE=90°-∠AEB=90°-60°=30°，
∴∠APE=∠PBE+∠PEB=60°，
∴∠AEP=90°∠APE=90°-60°=30°，
∴BP=EP=2AP．
（3）NQ=2MQ或NQ=MQ．
理由如下：
如圖3所示，過點Q作QF⊥AB于點F交BC于點G，則QF=CB．

∵正方形ABCD中，AB=BC，
∴FQ=AB．
在Rt△ABE和Rt△FQP中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BE=PQ}\\{AB=FQ}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△FQP（HL）．
∴∠FQP=∠ABE=30°．
又∵∠MGO=∠AEB=60°，
∴∠GMO=90°，
∵CD∥AB．
∴∠N=∠ABE=30°．
∴NQ=2MQ．
如圖4所示，過點Q作QF⊥AB于點F交BC于點G，則QF=CB．

同理可證△ABE≌△FQP．
此時∠FPQ=∠AEB=60°．
又∵∠FPQ=∠ABE+∠PMB，∠N=∠ABE=30°．
∴∠EMQ=∠PMB=30°．
∴∠N=∠EMQ，
∴NQ=MQ．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)定理、全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理，解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線，證明三角形全等．