Question

20．如圖，AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，CE∥AB，CE=$\frac{1}{2}$AB．
（1）求證：四邊形CDBE是矩形．
（2）若AC=5，CD=3，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)，且DF⊥BC，求DF長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由AC=BC，D為AB中點(diǎn)，利用三線合一得到DB等于AB的一半，且CD與DB垂直，根據(jù)CE等于AB的一半，等量代換得到DB=CE，由CE與AB平行，得到四邊形CDBE為平行四邊形，根據(jù)CD與DB垂直即可得證；
（2）在直角三角形CDB中，由BC與CD的長(zhǎng)，利用勾股定理求出BD的長(zhǎng)，根據(jù)DF與BC垂直，得到DF•BC=CD•BD，即可求出DF的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：∵AC=BC，
∴△ACB是等腰三角形，
∵D是AB中點(diǎn)，
∴DB=$\frac{1}{2}$AB，CD⊥DB，
∵CE=$\frac{1}{2}$AB，
∴DB=CE，
∵CE∥AB，
∴四邊形CDBE是平行四邊形，
又∵CD⊥DB，
∴四邊形CDBE是矩形；
（2）解：在Rt△CDB中，∠CDB=90°，CB=AC=5，CD=3，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=4，
∵DF⊥BC于F，
∴DF•BC=CD•BD，
解得：DF=$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．