Question

【題目】如圖①，直線y=-2x+4交x軸、y軸于A，B兩點(diǎn)，交雙曲線y=(x<0)于C點(diǎn)，△OAC的面積為6．

(1)求雙曲線的解析式；

(2)如圖②，D為雙曲線y=(x<0)上一點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段DE，點(diǎn)E恰好落在x軸上，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=-；（2）點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，0)

【解析】

（1）過C作CH⊥x軸于H，根據(jù)△AOC的面積為6，求得CH=6，即可得出C（-1，6），代入y=（x＜0）可得，k=-6；
（2）過點(diǎn)D作DF⊥x軸于F，過C作CG⊥DF于G，則∠G=∠DFE=90°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，判定△DCG≌△EDF（AAS），即可得出CG=DF，DG=EF，再設(shè)D（m，-），則DF=-，FO=-a，根據(jù)C（-1，6），可得CG=-1-m，DF=-1-m，進(jìn)而得出方程-=-1-m，解得m=-3或m=2（舍去），最后根據(jù)OE=4-3=1，可得E（1，0）．

解：(1)由題意得A(2，0)，B(0，4)，OA=2，

∵S△OAC=·OA·yc=6，∴yc=6．

∵點(diǎn)C在直線y=-2x+4上，

∴6=-2x+4，∴x=-1，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1，6)．

∵點(diǎn)C在雙曲線y=(x<0)上，∴6=，解得k=-6．

∴雙曲線的解析式為y=-．

（2）過點(diǎn)D作DF⊥x軸于F，過C作CG⊥DF于G，則∠G=∠DFE=90°，
由旋轉(zhuǎn)可得，CD=DE，∠CDE=90°，

∴∠CDG=∠DEF，
在△DCG和△EDF中，
，
∴△DCG≌△EDF（AAS），
∴CG=DF，DG=EF，

設(shè)D的坐標(biāo)為m，-，則DF=-，FO=-m，

∵C（-1，6），
∴CG=-1-a，
∴DF=-1-a，
∴-=-1-a，
解得a=-3或a=2（舍去），
∴DF=-1+3=2，DG=GF-DF=6-2=4，
∴EF=4，
又∵FO=3，
∴OE=4-3=1，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，0)．