Question

【題目】如圖，△ABC中，AC=BC，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，點(diǎn)O在邊BC上，以點(diǎn)O為圓心，OB長(zhǎng)為半徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)I，連接CI，BI．

（1）求證：CI是⊙O的切線(xiàn)；

（2）若AC=BC=5，AB=6，求BI的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2).

【解析】

（1）設(shè)∠ICB=x，∠IBC=y，得：2x+2y+2y=180°，則x+2y=90°，再證明∠IOC+∠ICO=2y+x=90°，可得∠OIC=90°，則CI是⊙O的切線(xiàn)；

（2）延長(zhǎng)CI交AB于D，先計(jì)算∠CDA=90°，得CD=4，證明△OIC∽△BDC，列比例式，設(shè)⊙O的半徑為r，得r的值，由，計(jì)算DI的值，根據(jù)勾股定理可得結(jié)論．

（1）證明：連接OI，
∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，
∴BI、CI分別是∠ABC、∠ACB的平分線(xiàn)，
設(shè)∠ICB=x，∠IBC=y，
∵AC=BC，
∴∠ABC=∠A=2y，∠ACB=2x，
∴2x+2y+2y=180°，
∴x+2y=90°，
∵OB=OI，
∴∠OIB=∠OBI，
∴∠ABI=∠OIB，
∴OI∥AB，
∴∠IOC=∠ABC=2y，
∴∠IOC+∠ICO=2y+x=90°，
∴∠OIC=90°，
∴CI是⊙O的切線(xiàn)；

（2）解：延長(zhǎng)CI交AB于D，
∵∠ACD+∠A=x+2y=90°，
∴∠CDA=90°，
∴CD⊥AB，
∵AC=BC=5，AB=6，
∴AD=BD=3，
∴CD=4，
∵OI∥AB，
∴△OIC∽△BDC，
∴，
設(shè)⊙O的半徑為r，
∴，∴r=，
∵OI∥BD，∴，
∴，∴DI=，
由勾股定理得：BI==．