【題目】已知拋物線yax2+2xcx軸交于A(﹣1,0)、B(3,0)兩點(diǎn),一次函數(shù)ykxb的圖象l經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)Cm,n

(1)求拋物線的解析式;

(2)若m=3,直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),求k的值;

(3)若k=﹣2m+2,直線l與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)D,點(diǎn)P在對(duì)稱軸上.當(dāng)PDPC時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3;(2)k=﹣4;(3)P(1,

【解析】

(1)將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式得到關(guān)于b、c的方程組,然后求解得到b、c的值,即可得解;
(2)根據(jù)題意得到一次函數(shù)的解析式為y=kx-3k,當(dāng)直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),方程kx-3k=-x2+2x+3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,進(jìn)而得到(k-2)2+4(3k+3)=0,解關(guān)于k的方程即可;
(3)過(guò)C點(diǎn)作CHPDH,根據(jù)題意得到n=(-2m+2)m+b,n=-m2+2m+3,即可得到b=m2+3,所以直線ly=(-2m+2)x+m2+3,由對(duì)稱軸為x=1,求得D為(1,8-n),設(shè)P(1,p),則PD=8-n-p,HC=m-1,PH=p-n,在RtPCH中,PC=PD=8-n-p,根據(jù)勾股定理得到(8-n-p)2=(p-n)2+(m-1)2,變形得到(8-2n)(8-2p)=m2-2m+1,進(jìn)一步得到2(4-n)(8-2p)=4-n,即2(8-2p)=1,求得p的值,即可得到P的坐標(biāo).

(1)∵拋物線yax2+2xcx軸交于A(﹣1,0)、B(3,0)兩點(diǎn),

,

解得

所以,拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3;

(2)∵拋物線上的點(diǎn)Cm,n),

n=﹣m2+2m+3,

當(dāng)m=3時(shí),n=0,

C(3,0),

∴一次函數(shù)ykxb的圖象l經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)Cmn),

3kb=0,

b=﹣3k,

∴一次函數(shù)的解析式為ykx﹣3k

∵直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),

∴方程kx﹣3k=﹣x2+2x+3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,

k﹣2)2+4(3k+3)=0,

解得k=﹣4;

(3)如圖,過(guò)C點(diǎn)作CHPDH,

Cmn)在直線ykxb上,

n=(﹣2m+2)mb,

∵點(diǎn)C在拋物線上,

n=﹣m2+2m+3,

bm2+3,

∴直線ly=(﹣2m+2)xm2+3,

∵直線l與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)D

D的橫坐標(biāo)為1,代入得:y=﹣2m+2+m2+3=8﹣(﹣m2+2m+3)=8﹣n

D(1,8﹣n),

設(shè)P(1,p),則PD=8﹣np,HCm﹣1,PHpn

RtPCH中,PCPD=8﹣np,

(8﹣np2=(pn2+(m﹣1)2

(8﹣np2﹣(pn2=(m﹣1)2

(8﹣2n)(8﹣2p)=m2﹣2m+1,

n=﹣m2+2m+3,

2(4﹣n)(8﹣2p)=4﹣n,

k=﹣2m+2≠0,

m≠1,

n≠4,

4﹣n≠0,

2(8﹣2p)=1,

p

P(1,).

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