【題目】如圖,等邊三角形的邊長為4,為邊上一點,過點作,交于點,在右側(cè)作等邊三角形,記到的距離為,到的距離為,
(1)若,試求線段的長,并求m1、m2的值.
(2)若,用含的代數(shù)式表示,,并求在∠C的平分線上時x的值.
【答案】(1)DE=,m1=,m2=0;(2),,當(dāng)在的平分線上時x=1.
【解析】
(1)過點作,則 ,延長DP交AC于點G,由題意可得:△BED、△DFP、DGC、均為30°的直角三角形,由可得 ,由等邊三角形可得,故 由于 ,可得 故;
(2)由(1)得當(dāng)點P在三角形ABC內(nèi)部時,;
①當(dāng) 時,點P在三角形ABC內(nèi)部, 此時,同(1)中的思路;②當(dāng) 時,點P在三角形ABC一邊上,同(1)可知,,
③當(dāng)時,點P在三角形ABC外部時,過點做,則 , DP與AC交于點G. 由題意可得:△BED、△DFP、DGC、均為30°的直角三角形可得,由等邊三角形可得,故,
由DC=BC-BD=4-x可得 ,故;當(dāng)在的平分線上時,此時在三角形內(nèi)部 ,有 列出方程 求解即可;
解:(1)如下圖,過點作,則 ,延長DP交AC于點G.
∵DE⊥BC,∠EDP=60°,
∴∠PDC=30°,
∵∠C=60°,
∴∠DGC=180°-∠PDC-∠C=90°,
∴,
∵ ,∠B=60°,∠BDE=90°,
∴,
∵ ,∠PDC=30°,PF⊥BC,
∴,
∵,
且∠C=60°,PG⊥AC,
∴,
∴;
(2)由(1)得當(dāng)點P在三角形ABC內(nèi)部時,,
①當(dāng) 時,點P在三角形ABC內(nèi)部,同(1)如下圖,
同(1)可證∠DGC=90°,
∴,
∵,∠B=60°,∠BDE=90°,
∴,
∵ ,∠PDC=30°,PF⊥BC,
∴,
∵DC=BC-BD=4-x,
且∠C=60°,PG⊥AC,
∴,
∴,
②當(dāng) 時,點P在三角形ABC一邊上,
同(1)可知,,
③當(dāng)時,點P在三角形ABC外部,
如下圖,過點做,則 , DP與AC交于點G.
同(1)可證∠DGC=90°,
∴,
∵BD=x,∠B=60°,∠BDE=90°,
∴,
∵,∠PDC=30°,PF⊥BC,
∴,
∵DC=BC-BD=4-x,
且∠C=60°,PG⊥AC,
∴,
∴,
綜上所述,,
當(dāng)在的平分線上時,易知在三角形內(nèi)部 ,有,
即 ,
解得 x=1;
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=60°,∠BAC的平分線AD與邊BC的垂直平分線相交于點D,DE⊥AB交AB的延長線于點E,DF⊥AC于點F,現(xiàn)有下列結(jié)論:①DE=DF;②DE+DF=AD;③AM平分∠ADF;④AB+AC=2AE;其中正確的有( )
A.個B.個C.個D.個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,為了測量河對岸l1上兩棵古樹A、B之間的距離,某數(shù)學(xué)興趣小組在河這邊沿著與AB平行的直線l2上取C、D兩點,測得∠ACB=15°,∠ACD=45°,若l1、l2之間的距離為50m,則A、B之間的距離為( 。
A. 50m B. 25m C. (50﹣)m D. (50﹣25)m
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,相鄰兩條平行直線間的距離相等,若等腰直角三角形ABC的直角頂點C在上,另兩個頂點A、B分別在、上,則的值是_______.
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【題目】已知:如圖,CD=BE,DG⊥BC于點 G,EF⊥BC于點 F,且 DG=EF.
(1)求證:△DGC≌△EFB.
(2)連結(jié) BD,CE. 求證:BD=CE
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【題目】如圖,在等邊△ABC中,線段AM為BC邊上的高,D是AM上的點,以CD為一邊,在CD的下方作等邊△CDE,連結(jié)BE.
(1)填空:∠ACB=____;∠CAM=____;
(2)求證:△AOC≌△BEC;
(3)延長BE交射線AM于點F,請把圖形補充完整,并求∠BFM的度數(shù);
(4)當(dāng)動點D在射線AM上,且在BC下方時,設(shè)直線BE與直線AM的交點為F.∠BFM的大小是否發(fā)生變化?若不變,請在備用圖中面出圖形,井直接寫出∠BFM的度數(shù);若變化,請寫出變化規(guī)律.
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【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過點(1,2)且與x軸交點的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,其中﹣1<x1<0.1<x2<2.下列結(jié)論:4a+2b+c<0;2a+b<0;b2+8a>4ac;
a<﹣1;其中結(jié)論正確的有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上,且BE=CF,BD=CE.
(1)求證:△DEF是等腰三角形;
(2)當(dāng)∠A=36°時,求∠DEF的度數(shù).
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【題目】作圖與設(shè)計:
在圖1和圖2中,正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1,每個小正方形的頂點叫做格點.
(1)在圖1中以格點為頂點畫一個三角形,使三角形三邊長分別為,,4;
(2)在圖2中以格點為頂點畫一個面積為10的正方形;
(3)在圖3的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系,若各頂點的坐標(biāo)分別為:,,,請你作,使和關(guān)于軸對稱.
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