Question

【題目】矩形ABCO中，O（0，0），C（0，3），A（a，0），（a≥3），以A為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形ABCO得到矩形AFED．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D落在邊BC上時(shí)，求BD的長(zhǎng)（用a的式子表示）；

（2）如圖2，當(dāng)a＝3時(shí)，矩形AFED的對(duì)角線AE交矩形ABCO的邊BC于點(diǎn)G，連結(jié)CE，若△CGE是等腰三角形，求直線BE的解析式；

（3）如圖3，矩形ABCO的對(duì)稱中心為點(diǎn)P，當(dāng)P，B關(guān)于AD對(duì)稱時(shí)，求出a的值，此時(shí)在x軸、y軸上是否分別存在M，N使得四邊形EFMN為平行四邊形，若存在直接寫出M，N坐標(biāo)，不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）BD＝；（2）y＝﹣x+6；（3）M（，0），N（0，）

【解析】

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D落在邊BC上時(shí)，BD2=AD2-AB2，即可求解；

（2）分CG=EG、CE=GE、CE=CG三種情況分別求解；

（3）①由點(diǎn)P為矩形ABCO的對(duì)稱中心，得到求得直線PB的解析式為，得到直線AD的解析式為：，解方程即可得到結(jié)論；②根據(jù)①中的結(jié)論得到直線AD 的解析式為，求得∠DAB=30°，連接AE，推出A，B，E三點(diǎn)共線，求得，設(shè)M（m，0），N（0，n），解方程組即可得到結(jié)論．

（1）如圖1，

在矩形ABCO中，∠B＝90°

當(dāng)點(diǎn)D落在邊BC上時(shí)，BD2＝AD2﹣AB2，

∵C（0，3），A（a，0）

∴AB＝OC＝3，AD＝AO＝a，

∴BD＝；

（2）如圖2，連結(jié)AC，

∵a＝3，∴OA＝OC＝3，

∴矩形ABCO是正方形，∴∠BCA＝45°，

設(shè)∠ECG的度數(shù)為x，

∴AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE＝45°+x，

①當(dāng)CG＝EG時(shí)，x＝45°+x，

解得x＝0，不合題意，舍去；

②當(dāng)CE＝GE時(shí)，如圖2，

∠ECG＝∠EGC＝x

∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°，

∴x+x+（45°+x）＝180°，解得x＝45°，

∴∠AEC＝∠ACE＝90°，不合題意，舍去；

③當(dāng)CE＝CG時(shí)，∠CEG＝∠CGE＝45°+x，

∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°，

∴x+（45°+x）+（45°+x）＝180°，解得x＝30°，

∴∠AEC＝∠ACE＝75°，∠CAE＝30°

如圖3，連結(jié)OB，交AC于點(diǎn)Q，過(guò)E作EH⊥AC于H，連結(jié)BE，

∴EH＝AE＝AC，BQ＝AC，

∴EH＝BQ，EH∥BQ且∠EHQ＝90°

∴四邊形EHQB是矩形

∴BE∥AC，

設(shè)直線BE的解析式為y＝﹣x+b，

∵點(diǎn)B（3，3）在直線上，則b＝6，

∴直線BE的解析式為y＝﹣x+6；

（3）①∵點(diǎn)P為矩形ABCO的對(duì)稱中心，

∴，

∵B（a，3），

∴PB的中點(diǎn)坐標(biāo)為：，

∴直線PB的解析式為，

∵當(dāng)P，B關(guān)于AD對(duì)稱，

∴AD⊥PB，

∴直線AD的解析式為：，

∵直線AD過(guò)點(diǎn)，∴，

解得：a＝±3，

∵a≥3，

∴a＝3；

②存在M，N；

理由：∵a＝3，

∴直線AD 的解析式為y＝﹣x+9，

∴∴∠DAO＝60°，

∴∠DAB＝30°，

連接AE，

∵AD＝OA＝3，DE＝OC＝3，

∴∠EAD＝30°，

∴A，B，E三點(diǎn)共線，

∴AE＝2DE＝6，

∴，

設(shè)M（m，0），N（0，n），

∵四邊形EFMN是平行四邊形，

∴，

解得：，

∴M（，0），N（0，）．