Question

9．如圖，在同一平面內∠ABC=45°，過點B的直線l⊥BC，點P為直線l上一動點

（1）如圖1，連接PC交AB于點Q，若BP=2，BC=3，求$\frac{PQ}{CQ}$的值．
（2）如圖2，連接PC交AB于點Q，過點B作BD⊥PC于點D，當∠BPC=3∠C時，判斷線段BD與線段CQ的數量關系，并證明你的結論．
（3）如圖3，過點C作BC的垂線交BA于點A，過點C作CH⊥CP，并使CH=CP，連接AH交射線BC于點I．當點P在直線l上移動時，若AC=m，BI=n，線段BP的長度為2|m-n|（直接用m、n表示）

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作QE⊥PB，QF⊥BC垂足分別為E、F，由角平分線性質定理得QE=QF再根據S_△PBQ：S_△BCQ=PQ：QC即可解決問題．
（2）如圖2中，作CF⊥AB垂足為F交BD的延長線于E，構造了全等三角形△CFQ≌△BFE解決問題．
（3）如圖3中，作HE⊥BC垂足為E，構造了全等三角形△PCB≌△CHE解決問題，注意當點P在直線l上移動時，點I在BC的延長線時的情形．

解答 （1）解：如圖1中，作QE⊥PB，QF⊥BC垂足分別為E、F．
∵∠PBC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ABC=∠ABP，
∴QE=QF，
∵S_△PBQ：S_△BCQ=PQ：QC，
∴$\frac{1}{2}$•PB•QE：$\frac{1}{2}$•BC•QF=PQ：QC，
∴PQ：QC=2：3，
即$\frac{PQ}{CQ}$=$\frac{2}{3}$．
（2）結論CQ=2BD，理由如下：
證明：如圖2中，作CF⊥AB垂足為F交BD的延長線于E．
∵∠CFB=∠BFE=90°，∠ABC=45°，
∴∠FBC=∠FCB=45°，
∴FB=FC，
∵BD⊥CD，
∴∠BDQ=∠QFC=90°，
∵∠DQB=∠FQC，
∴∠DBQ=∠QCF，
在△CFQ和△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCQ=∠EBF}\\{CF=BF}\\{∠CFQ=∠BFE}\end{array}\right.$，
∴△CFQ≌△BFE，
∴CQ=BE，
∵∠BPC=3∠C，∠C+∠BPC=90°，
∴∠PCB=∠FCQ=22.5°，
∴∠CBD=∠CED=67.5°，
∴CB=CE，
∵CD⊥EB，
∴DB=ED，
∴CQ=2BD．
（3）如圖3中，作HE⊥BC垂足為E．
∵∠PCH=∠PBC=90°，
∴∠CPB+∠PCB=90°，∠PCB+∠HCE=90°，
∴∠CPB=∠HCE，
在△PCB和△CHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CPB=∠HCE}\\{∠PBC=∠HEC}\\{CP=CH}\end{array}\right.$，
∴△PCB≌△CHE，
∴BC=EH，PB=EC，
∠ACB=90°，∠ABC=45°，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∴AC=BC=EH，
在△ACI和△HEI中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACI=∠HEI}\\{∠AIC=∠EIH}\\{AC=EH}\end{array}\right.$，
∴△ACI≌△HEI，
∴EI=IC，
∴IC=BC-BI=AC-BI=m-n，
BP=2EI=2（m-n），
當點I在BC的延長線時，IC=BI-BC=BI-AC=n-m，BP=2IC=2（n-m）．
綜上所述：BP=2|m-n|．
故答案為2|m-n|．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、角平分線的性質定理，構造全等三角形是解決問題的關鍵，易錯的地方是最后一個問題漏解，考慮問題要全面．