【題目】如圖,在以線段AB為直徑的⊙O上取一點,連接AC、BC.將△ABC沿AB翻折后得到△ABD.
(1)試說明點D在⊙O上;
(2)在線段AD的延長線上取一點E,使AB2=AC·AE.求證:BE為⊙O的切線;
(3)在(2)的條件下,分別延長線段AE、CB相交于點F,若BC=2,AC=4,求線段EF的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)EF=
【解析】(1)由翻折知△ABC≌△ABD,得∠ADB=∠C=90°,據(jù)此即可得;
(2)由AB=AD知AB2=ADAE,即,據(jù)此可得△ABD∽△AEB,即可得出∠ABE=∠ADB=90°,從而得證;
(3)由知DE=1、BE=,證△FBE∽△FAB得,據(jù)此知FB=2FE,在Rt△ACF中根據(jù)AF2=AC2+CF2可得關(guān)于EF的一元二次方程,解之可得.
(1)∵AB為⊙O的直徑,
∴∠C=90°,
∵將△ABC沿AB翻折后得到△ABD,
∴△ABC≌△ABD,
∴∠ADB=∠C=90°,
∴點D在以AB為直徑的⊙O上;
(2)∵△ABC≌△ABD,
∴AC=AD,
∵AB2=ACAE,
∴AB2=ADAE,即,
∵∠BAD=∠EAB,
∴△ABD∽△AEB,
∴∠ABE=∠ADB=90°,
∵AB為⊙O的直徑,
∴BE是⊙O的切線;
(3)∵AD=AC=4、BD=BC=2,∠ADB=90°,
∴AB=,
∵,
∴,
解得:DE=1,
∴BE=,
∵四邊形ACBD內(nèi)接于⊙O,
∴∠FBD=∠FAC,即∠FBE+∠DBE=∠BAE+∠BAC,
又∵∠DBE+∠ABD=∠BAE+∠ABD=90°,
∴∠DBE=∠BAE,
∴∠FBE=∠BAC,
又∠BAC=∠BAD,
∴∠FBE=∠BAD,
∴△FBE∽△FAB,
∴,即,
∴FB=2FE,
在Rt△ACF中,∵AF2=AC2+CF2,
∴(5+EF)2=42+(2+2EF)2,
整理,得:3EF2-2EF-5=0,
解得:EF=-1(舍)或EF=,
∴EF=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)設(shè)計了一款工藝品,每件的成本是50元,為了合理定價,投放市場進(jìn)行試銷.據(jù)市場調(diào)查,銷售單價是100元時,每天的銷售量是50件,而銷售單價每降低1元,每天就可多售出5件,但要求銷售單價不得低于成本.
求出每天的銷售利潤元與銷售單價元之間的函數(shù)關(guān)系式;
求出銷售單價為多少元時,每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少?
如果該企業(yè)要使每天的銷售利潤不低于4000元,且每天的總成本不超過7000元,那么銷售單價應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?每天的總成本每件的成本每天的銷售量
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是一棵古樹,某校初四(1)班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)想利用所學(xué)知識測出這棵古樹的高,過程如下:在古樹同側(cè)的水平地面上,分別選取了C、D兩點(C、D兩點與古樹在同一直線上),用測角儀在C處測得古樹頂端A的仰角α=60°,在D處測得古樹頂端A的仰角β=30°,又測得C、D兩點相距14米.已知測角儀高為1.5米,請你根據(jù)他們所測得的數(shù)據(jù)求出古樹AB的高.(精確到0.1米,≈1.732)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中,點都在格點上。
(Ⅰ)AC的長是_____________;
(Ⅱ)將四邊形折疊,使點C與點4重合,折痕EF交BC于點E,交AD于點F,點D的對應(yīng)點為Q,得五邊形.請用無刻度的直尺在網(wǎng)格中畫出折疊后的五邊形,并簡要說明點的位置是如何找到的____________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將線段 AB 先向右平移 5 個單位,再將所得線段繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn) 90°,得到線段 AB ,則點 B 的對應(yīng)點 B′的坐標(biāo)是( )
A.(-4 , 1)B.( -1, 2)C.(4 ,- 1)D.(1 ,- 2)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將正面分別寫著數(shù)字,1,3,6的四張卡片(卡片除數(shù)字外,其它都相同)洗勻后,背面向上放在桌子上,從中先隨機(jī)抽取一張卡片,記下卡片上的數(shù)字,不放回,再從中任取一張卡片,記下數(shù)字.
(1)請用列表或畫樹狀圖法(樹狀圖也稱樹形圖)中的一種方法,列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果;
(2)請計算兩次摸出的卡片上的數(shù)字之和大于4的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示是某路燈燈架示意圖,其中點A表示電燈,AB和BC為燈架,l表示地面,已知AB=2m,BC=5.7m,∠ABC=110°,BC⊥l于點C,求電燈A與地面l的距離.(結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù):sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著“互聯(lián)網(wǎng)+”時代的到來,一種新型打車方式受到大眾歡迎,該打車方式的總費(fèi)用由里程費(fèi)和耗時費(fèi)組成,其中里程費(fèi)按x元/公里計算,耗時費(fèi)按y元/分鐘計算(總費(fèi)用不足9元按9元計價).小明、小剛兩人用該打車方式出行,按上述計價規(guī)則,其打車總費(fèi)用、行駛里程數(shù)與打車時間如表:
時間(分鐘) | 里程數(shù)(公里) | 車費(fèi)(元) | |
小明 | 8 | 8 | 12 |
小剛 | 12 | 10 | 16 |
(1)求x,y的值;
(2)如果小華也用該打車方式,打車行駛了11公里,用了14分鐘,那么小華的打車總費(fèi)用為多少?
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