Question

【題目】如圖，在以線段AB為直徑的⊙O上取一點，連接AC、BC.將△ABC沿AB翻折后得到△ABD.

（1）試說明點D在⊙O上；

（2）在線段AD的延長線上取一點E，使AB2=AC·AE.求證：BE為⊙O的切線；

（3）在（2）的條件下，分別延長線段AE、CB相交于點F，若BC=2，AC=4，求線段EF的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）EF=

【解析】（1）由翻折知△ABC≌△ABD，得∠ADB=∠C=90°，據此即可得；

（2）由AB=AD知AB2=ADAE，即，據此可得△ABD∽△AEB，即可得出∠ABE=∠ADB=90°，從而得證；

（3）由知DE=1、BE=，證△FBE∽△FAB得，據此知FB=2FE，在Rt△ACF中根據AF2=AC2+CF2可得關于EF的一元二次方程，解之可得．

（1）∵AB為⊙O的直徑，

∴∠C=90°，

∵將△ABC沿AB翻折后得到△ABD，

∴△ABC≌△ABD，

∴∠ADB=∠C=90°，

∴點D在以AB為直徑的⊙O上；

（2）∵△ABC≌△ABD，

∴AC=AD，

∵AB2=ACAE，

∴AB2=ADAE，即，

∵∠BAD=∠EAB，

∴△ABD∽△AEB，

∴∠ABE=∠ADB=90°，

∵AB為⊙O的直徑，

∴BE是⊙O的切線；

（3）∵AD=AC=4、BD=BC=2，∠ADB=90°，

∴AB=，

∵，

∴，

解得：DE=1，

∴BE=，

∵四邊形ACBD內接于⊙O，

∴∠FBD=∠FAC，即∠FBE+∠DBE=∠BAE+∠BAC，

又∵∠DBE+∠ABD=∠BAE+∠ABD=90°，

∴∠DBE=∠BAE，

∴∠FBE=∠BAC，

又∠BAC=∠BAD，

∴∠FBE=∠BAD，

∴△FBE∽△FAB，

∴，即，

∴FB=2FE，

在Rt△ACF中，∵AF2=AC2+CF2，

∴（5+EF）2=42+（2+2EF）2，

整理，得：3EF2-2EF-5=0，

解得：EF=-1（舍）或EF=，

∴EF=．