Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)P在BC邊的延長線上，且PD=BC，⊙A經(jīng)過點(diǎn)B，與AD邊交于點(diǎn)E，連接CE .

（1）求證：直線PD是⊙A的切線；

（2）若PC=2，sin∠P=，求圖中陰影部份的面積（結(jié)果保留無理數(shù)）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）20-4π.

【解析】分析：（1）過點(diǎn)A作AH⊥PD，垂足為H，只要證明AH為半徑即可.

（2）分別算出Rt△CED的面積，扇形ABE的面積，矩形ABCD的面積即可.

詳解：（1）證明：如圖，過A作AH⊥PD，垂足為H，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AD∥BC，∠PCD=∠BCD=90°，

∴∠ADH=∠P，∠AHD=∠PCD=90°，

又PD=BC，∴AD=PD，

∴△ADH≌△DPC，∴AH=CD，

∵CD=AB，且AB是⊙A的半徑，

∴AH=AB,即AH是⊙A的半徑，

∴PD是⊙A的切線.

（2）如圖，在Rt△PDC中，∵sin∠P=，PC=2 ，

令CD=2x，PD=3x，由由勾股定理得：（3x）2-(2x)2=(2)2，

解得：x=2，∴CD=4，PD=6，

∴AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2，

∵矩形ABCD的面積為6×4=24，Rt△CED的面積為×4×2=4，

扇形ABE的面積為π×42=4π，

∴圖中陰影部份的面積為24-4-4π=20-4π.