【題目】四邊形ABCD是正方形,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O.
(1)如圖1,點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn),連接OP,以OP為一邊,作正方形OPMN,且邊ON與邊BC相交,連接AP,BN.
①依題意補(bǔ)全圖1;
②判斷AP與BN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系,寫出結(jié)論并加以證明;
(2)點(diǎn)P在AB延長線上,且∠APO=30°,連接OP,以OP為一邊,作正方形OPMN,且邊ON與BC的延長線恰交于點(diǎn)N,連接CM,若AB=2,求CM的長(不必寫出計算結(jié)果,簡述求CM長的過程)
【答案】(1)①圖形見解析②AP=BN,AP⊥BN(2)見解析
【解析】分析:(1)、①根據(jù)題意作出圖形即可;②結(jié)論:AP=BN,AP⊥BN,只要證明△APO≌△BNO即可;(2)、在RT△CMS中,求出SM,SC即可解決問題.
詳解:(1)、解:①補(bǔ)全圖形如圖1所示,
②結(jié)論:AP=BN,AP⊥BN.
理由:延長NB交AP于H,交OP于K. ∵四邊形ABCD是正方形, ∴OA=OB,AO⊥BO,
∴∠1+∠2=90°, ∵四邊形OPMN是正方形, ∴OP=ON,∠PON=90°, ∴∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3, 在△APO和△BNO中,, ∴△APO≌△BNO, ∴AP=BN,∴∠4=∠5,
在△OKN中,∠5+∠6=90°, ∵∠7=∠6, ∴∠4+∠7=90°, ∴∠PHK=90°, ∴AP⊥BN.
(2)、解:解題思路如下:
a.首先證明△APO≌△BNO,AP=BN,∠OPA=ONB.
b.作OT⊥AB于T,MS⊥BC于S,由題意可知AT=TB=1,
c.由∠APO=30°,可得PT= ,BN=AP= +1,可得∠POT=∠MNS=60°.
d.由∠POT=∠MNS=60°,OP=MN,
可證,△OTP≌△NSM, ∴PT=MS= , ∴CN=BN﹣BC= ﹣1,
∴SC=SN﹣CN=2﹣ , 在RT△MSC中,CM2=MS2+SC2 , ∴MC的長可求.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.
(l)概念理解:如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎?請說明理由.
(2)性質(zhì)探宄:試探索垂美四邊形ABCD兩組對邊AB,CD與BC,AD之間的數(shù)量關(guān)系.
猜想結(jié)論:(要求用文字語言敘述)
寫出證明過程(先畫出圖形,寫出已知、求證)
(3)問題解決:如圖3,分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,連接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5,求GE長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠A=90°,O是BC邊上一點(diǎn),以O(shè)為圓心的半圓分別與AB、AC邊相切于D、E兩點(diǎn),連接OD.已知BD=2,AD=3.求:
(1)tanC;
(2)圖中兩部分陰影面積的和.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,下面說法正確的個數(shù)是( )個.
①若O是△ABC的外心,∠A=50°,則∠BOC=100°;
②若O是△ABC的內(nèi)心,∠A=50°,則∠BOC=115°;
③若BC=6,AB+AC=10,則△ABC的面積的最大值是12;
④△ABC的面積是12,周長是16,則其內(nèi)切圓的半徑是1.
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有2個信封A、B,信封A裝有四張卡片上分別寫有1、2、3、4,信封B裝有三張卡片分別寫有5、6、7,每張卡片除了數(shù)字沒有任何區(qū)別.從這兩個信封中隨機(jī)抽取兩張卡片.
(1)請你用列表法或畫樹狀圖的方法描述所有可能的結(jié)果;
(2)把卡片上的兩個數(shù)相加,求“得到的和是3的倍數(shù)”的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一名足球守門員練習(xí)折返跑,從球門線出發(fā),向前記作正數(shù),返回記作負(fù)數(shù),他的記錄如下:(單位:米)+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10
(1)守門員最后是否回到了球門線的位置?
(2)在練習(xí)過程中,守門員離開球門最遠(yuǎn)距離是多少米?
(3)守門員全部練習(xí)結(jié)束后,他共跑了多少米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某科技開發(fā)公司研制出一種新型的產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的成本為2400元,銷售單價定為3000元,在該產(chǎn)品的試銷期間,為了促銷,鼓勵商家購買該新型產(chǎn)品,公司決定商家一次購買這種新型產(chǎn)品不超過10件時,每件按3000元銷售;若一次購買該種產(chǎn)品超過10件時,每多購買一件,所購買的全部產(chǎn)品的銷售單價均降低10元,但銷售單價均不低于2600元.
(1)商家一次購買這種產(chǎn)品多少件時,銷售單價恰好為2600元?
(2)設(shè)商家一次購買這種產(chǎn)品x件,開發(fā)公司所獲得的利潤為y元,求y(元)與x(件)之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.
(3)該公司的銷售人員發(fā)現(xiàn):當(dāng)商家一次購買產(chǎn)品的件數(shù)超過某一數(shù)量時,會出現(xiàn)隨著一次購買的數(shù)量的增多,公司所獲得的利潤反而減少這一情況.為使商家一次購買的數(shù)量越多,公司所獲得的利潤越大,公司應(yīng)將最低銷售單價調(diào)整為多少元?(其它銷售條件不變)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知正方形OABC的面積為9,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上,點(diǎn)B 在函數(shù)(k>0,x>0)的圖象上,點(diǎn)P (m,n)是函數(shù)(k>0,x>0)的圖象上任意一點(diǎn),過P分別作x軸、y軸的垂線,垂足為E、F,設(shè)矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面積為S.
①求B點(diǎn)坐標(biāo)和k的值;
②當(dāng)時,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
③寫出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為8,在各邊上順次截取AE=BF=CG=DH=5,則四邊形EFGH的面積是( 。
A. 30 B. 34 C. 36 D. 40
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