Question

已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，并在給定的直角坐系中畫出這條拋物線；
（2）若點(diǎn)（x₀，y₀）在拋物線上，且1≤x₀≤4，寫出y₀的取值范圍；
（3）設(shè)平行于y軸的直線x=t交線段BM于點(diǎn)P（點(diǎn)P能與點(diǎn)M重合，不能與點(diǎn)B重合），交x軸于點(diǎn)Q，四邊形AQPC的面積為S
①求s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；
②求S取得最大值時P的坐標(biāo)；
③設(shè)四邊形OBMC的面積為S’，判斷是否存在點(diǎn)P，使得S=S’，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題需先根據(jù)拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)，即可求出a、b、c的值，從而得出拋物線的解析式，即可求出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（2）本題需先根據(jù)拋物線的解析式，分兩種情況進(jìn)行分析，當(dāng)x₀=1時和x₀=4時y₀的值，即可求出它們的取值范圍．
（3）本題需先根據(jù)題意設(shè)出直線BM的解析式，再把B與M點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求出直線BM的解析式，從而得出P點(diǎn)的坐標(biāo)，即求出PQ、OQ、OA、OC的值，得出S的解析式；得出解析式后，求出t的值是多少的時候，S最大，得出P點(diǎn)的坐標(biāo)，求出S的最大值是多少，即可求出S不等于S^′，也就是不存在點(diǎn)P．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

∴

a=-1 b=2 c=3

∴拋物線的解析式是：y=-x²+2x+3
∴拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1，4）

（2）∵拋物線的解析式是y=-x²+2x+3，
當(dāng)x₀=1時，y₀=4
當(dāng)x₀=4時，
y₀=-5，
∴當(dāng)1≤x₀≤4時，-5≤y₀≤4

（3）①設(shè)直線BM的解析式為y=mx+n
把B（3，0），M（1，4）代入得

3m+n=0 m+n=4

，
∴

m=-2 n=6

∴直線BM的解析式為：y=-2x+6，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（t，-2t+6），
∴PQ=|-2t+6|=-2t+6，
又OQ=|t|=t  OA=|-1|=1，OC=|3|=3，
∴S=S_△AOC+S_梯形OQPC
=

1

2

×OA×OC+

1

2

（OC+PQ）×OQ 
=

1

2

×1×3+

1

2

×(3-2t+6）×t
=-t2+

9

2

t+

3

2

（1≤t＜3）
②S=-t2+

9

2

t+

3

2

=-（t2-

9

2

t-

3

2

）
=-（t-

9

4

)2+²+

105

16

∴當(dāng)t=

9

4

時，S最大，
∴S的最大值為

105

16

，這時P點(diǎn)坐標(biāo)為（

9

4

，

3

2

）
③S=

1

2

×(3+4)×1+

1

2

×2×4
=

7

2

+4
=

15

2

∴S的最大值為

105

16

105

16

＜

15

2

∴S=S′不可能，
∴不存在點(diǎn)P，使S=S′．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)綜合問題，在解題時要涉及到的知識點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和取值范圍以及最大值問題，在求有關(guān)最值問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．