Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A、B為x軸上兩點(diǎn)，C、D為y軸上的兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A、C、B的拋物線的一部分C₁與經(jīng)過點(diǎn)A、D、B的拋物線的一部分C₂組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線稱為“蛋線”．已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，$-\frac{3}{2}$），點(diǎn)M是拋物線C₂：y=mx²-2mx-3m（m＜0）的頂點(diǎn)．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)△BDM為直角三角形時(shí)，求m的值．
（3）“蛋線”在第四象限上是否存在一點(diǎn)P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將y=mx²-2mx-3m化為交點(diǎn)式，即可得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）先表示出DM²，BD²，MB²，再分兩種情況：①DM²+BD²=MB²時(shí)；②DM²+MB²=BD²時(shí)，討論即可求得m的值．
（3）先用待定系數(shù)法得到拋物線C₁的解析式，過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交BC于Q，用待定系數(shù)法得到直線BC的解析式，再根據(jù)三角形的面積公式和配方法得到△PBC面積的最大值．

解答 解：（1）y=mx²-2mx-3m=m（x-3）（x+1），
∵m≠0，
∴當(dāng)y=0時(shí)，x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
（2）y=mx²-2mx-3m=m（x-1）²-4m，
頂點(diǎn)M坐標(biāo)（1，-4m），
當(dāng)x=0時(shí)，y=-3m，
∴D（0，-3m），B（3，0），
∴DM²=（0-1）²+（-3m+4m）²=m²+1，
MB²=（3-1）²+（0+4m）²=16m²+4，
BD²=（3-0）²+（0+3m）²=9m²+9，
當(dāng)△BDM為Rt△時(shí)有：DM²+BD²=MB²或DM²+MB²=BD²．
①DM²+BD²=MB²時(shí)有：m²+1+9m²+9=16m²+4，
解得m=-1（∵m＜0，∴m=1舍去）；
②DM²+MB²=BD²時(shí)有：m²+1+16m²+4=9m²+9，
解得m=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$舍去）．
綜上，m=-1或-$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，△BDM為直角三角形．
（3）設(shè)C₁：y=ax²+bx+c，將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
故C₁：y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$．
如圖：過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交BC于Q，
由B、C的坐標(biāo)可得直線BC的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$，BC=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．
設(shè)P（x，$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$），則Q（x，$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$），
PQ=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$-（$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，
S_△PBC=S_△PCQ+S_△PBQ=$\frac{1}{2}$PQ•BC=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x）×$\frac{3\sqrt{5}}{2}$=-$\frac{3\sqrt{5}}{8}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27\sqrt{5}}{32}$，
當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，S_△PBC有最大值，Smax=$\frac{27\sqrt{5}}{32}$，$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{2}$）²-$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$=-$\frac{15}{8}$，
P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{8}$）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點(diǎn)有：拋物線的交點(diǎn)式，待定系數(shù)法求拋物線的解析式，待定系數(shù)法求直線的解析式，三角形的面積公式，配方法的應(yīng)用，勾股定理，分類思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．