Question

3．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點，線段AB的兩個端點A（0，2），B（1，0）分別在y軸和x軸的正半軸上，點C為線段AB的中點．現(xiàn)將線段BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點D．
（1）如圖1，若該拋物線經(jīng)過原點O，且a=-$\frac{1}{3}$． 
①求點D的坐標(biāo)及該拋物線的解析式；
②連結(jié)CD．問：在拋物線上是否存在點P，使得∠POB與∠BCD互余？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（2）如圖2，若該拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點E（1，1），點Q在拋物線上，且滿足∠QOB與∠BCD互余．若符合條件的Q點的個數(shù)是4個，請直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①過點D作DF⊥x軸于點F，先通過三角形全等求得D的坐標(biāo)，把D的坐標(biāo)和a=-$\frac{1}{3}$，c=0代入y=ax²+bx+c即可求得拋物線的解析式；
②先證得CD∥x軸，進而求得要使得∠POB與∠BCD互余，則必須∠POB=∠BAO，設(shè)P的坐標(biāo)為（x，-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x），分兩種情況討論即可求得；
（2）若符合條件的Q點的個數(shù)是4個，則當(dāng)a＜0時，拋物線交于y軸的負(fù)半軸，當(dāng)a＞0時，最小值得＜-1，解不等式即可求得．

解答 解：（1）①過點D作DF⊥x軸于點F，如圖1，

∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DBF=∠BAO，
又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，
在△AOB和△BFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBF=∠BAO}\\{∠AOB=∠BFD}\\{AB=BD}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BFD（AAS）
∴DF=BO=1，BF=AO=2，
∴D的坐標(biāo)是（3，1），
根據(jù)題意，得a=-$\frac{1}{3}$，c=0，且a×3²+b×3+c=1，
∴b=$\frac{4}{3}$，
∴該拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x；
②∵點A（0，2），B（1，0），點C為線段AB的中點，
∴C（$\frac{1}{2}$，1），
∵C、D兩點的縱坐標(biāo)都為1，
∴CD∥x軸，
∴∠BCD=∠ABO
∴∠BAO與∠BCD互余，
要使得∠POB與∠BCD互余，則必須∠POB=∠BAO，
設(shè)P的坐標(biāo)為（x，-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x），
（Ⅰ）當(dāng)P在x軸的上方時，過P作PG⊥x軸于點G，如圖2，

則tan∠POB=tan∠BAO，即$\frac{PG}{OG}$=$\frac{BO}{AO}$，
∴$\frac{\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{4}{3}x}{x}$=$\frac{1}{2}$，解得x₁=0（舍去），x₂=$\frac{5}{2}$，
∴-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x=$\frac{5}{4}$，
∴P點的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）；
（Ⅱ）當(dāng)P在x軸的下方時，過P作PG⊥x軸于點G，如圖3，

則tan∠POB=tan∠BAO，即p$\frac{PG}{OG}=\frac{BO}{AO}$，
∴$\frac{\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{4}{3}x}{x}=\frac{1}{2}$，
解得x₁=0（舍去），x₂=$\frac{11}{2}$，
∴$-\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x=-$\frac{11}{4}$，
∴P點的坐標(biāo)為（$\frac{11}{2}$，-$\frac{11}{4}$）；
綜上，在拋物線上存在點P（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）或（$\frac{11}{2}$，-$\frac{11}{4}$），使得∠POB與∠BCD互余．
（2）如圖3，圖4，


∵D（3，1），E（1，1），
拋物線y=ax²+bx+c過點E、D，代入可得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=1}\\{9a+3b+c=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4a}\\{c=1+3a}\end{array}\right.$，
所以y=ax²-4ax+3a+1．
分兩種情況：
①當(dāng)拋物線y=ax²+bx+c開口向下時，若滿足∠QOB與∠BCD互余且符合條件的Q點的個數(shù)是4個，則點Q在x軸的上、下方各有兩個，
（i）當(dāng)點Q在x軸的上方時，直線OQ與拋物線有兩個交點，滿足條件的Q有2個；
（ii）當(dāng)點Q在x軸的下方時，要使直線OQ與拋物線y=ax²+bx+c有兩個交點，拋物線y=ax²+bx+c與x軸的交點必須在x軸的正半軸上，與y軸的交點在y軸的負(fù)半軸，所以3a+1＜0，解得a＜-$\frac{1}{3}$；
②當(dāng)拋物線y=ax²+bx+c開口向上時，點Q在x軸的上、下方各有兩個，
（i）當(dāng)點Q在x軸的上方時，直線OQ與拋物線y=ax²+bx+c有兩個交點，符合條件的點Q有兩個；
（ii）當(dāng)點Q在x軸的下方時，要使直線OQ與拋物線y=ax²+bx+c有兩個交點，符合條件的點Q才兩個．
根據(jù)（2）可知，要使得∠QOB與∠BCD互余，則必須∠QOB=∠BAO，
∴tan∠QOB=tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，此時直線OQ的斜率為-$\frac{1}{2}$，則直線OQ的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x，要使直線OQ與拋物線y=ax²+bx+c有兩個交點，所以方程ax²-4ax+3a+1=-$\frac{1}{2}$x有兩個不相等的實數(shù)根，所以△=（-4a+$\frac{1}{2}$）²-4a（3a+1）＞0，即4a²-8a+$\frac{1}{4}$＞0，解得a＞$\frac{4+\sqrt{15}}{4}$（a＜$\frac{4-\sqrt{15}}{4}$舍去）
綜上所示，a的取值范圍為a＜-$\frac{1}{3}$或a＞$\frac{4+\sqrt{15}}{4}$．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，正切函數(shù)，最小值等，分類討論的思想是本題的關(guān)鍵．