Question

【題目】如圖所示，PA、PB為⊙O的切線，M、N是PA、AB的中點(diǎn)，連接MN交⊙O點(diǎn)C，連接PC交⊙O于D，連接ND交PB于Q，求證：MNQP為菱形．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：連接OA，OB，OC，OD，OP. 由是的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得MN∥BP.，又由PA、PB為的切線，可得AB⊥OP.可證得NM=MP，然后由射影定理與切割線定理證得O，C，D，N四點(diǎn)共圓，繼而證得

MP∥NQ，則可得四邊形MNQP是平行四邊形，證得四邊形MNQP是菱形．

試題解析：證明：連接OA，OB，OC，OD，OP.

∵AN=NB，AM=MP.

∴MN∥BP.

∵PA、PB為的切線，

∴AB⊥OP.

∴NM=MP，∠MNP=∠MPN，

在Rt△AOP中,由射影定理,得

由切割線定理,得

∴PNPO=PDPC，

∴O，C，D，N四點(diǎn)共圓，

∴∠PND=∠OCD，∠ONC=∠ODC，

∵OC=OD，

∴∠OCD=∠ODC，

∵∠MNP=∠ONC，

∴∠MNP=∠PND=∠MPN，

∴MP∥NQ，

∴四邊形MNQP是平行四邊形，

∴四邊形MNQP是菱形.