Question

如圖1，在直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線L：y=-x²-2x+2與y軸交于點(diǎn)C，以O(shè)C為一邊向左側(cè)作正方形OCBA上；如圖2，把正方形OCBA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α后得到正方形A₁B₁C₁O（0°＜α＜90°）﹒
（1）B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

 

、

 

；
（2）當(dāng)tanα﹦

1

2

時(shí)，拋物線L的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PB₁C₁為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）在拋物線L的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PB₁C₁為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)tanα的值；若不存在，請(qǐng)說明理由﹒

Answer 1

分析：（1）本題需先根據(jù)題意拋物線y=-x²-2x+2與y軸交于點(diǎn)C的性質(zhì)，得出x、y的值，即可求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）首先根據(jù)題意判斷出存在，再設(shè)旋轉(zhuǎn)后的正方形OA₁B₁C₁的邊B₁C₁交y軸于一點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交OA₁與點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)，得出∠AOA₁=∠C₁OD，在分三種情況分別得出P₁，P₂（-1，

5

），P₃的坐標(biāo)，即可求出答案．
（3）首先判斷出存在﹒根據(jù)圖形得出P₁點(diǎn)、P₂點(diǎn)符合條件﹒由圖1和圖2分別得出tanα的值．

解答：解：（1）∵拋物線L：y=-x²-2x+2與y軸交于點(diǎn)C
∴y=2，
∴x=0或x=-2，
∴B（-2，2），
C（0，2）．

（2）存在﹒設(shè)旋轉(zhuǎn)后的正方形OA₁B₁C₁的邊B₁C₁交y軸于點(diǎn)D﹒
拋物線的對(duì)稱軸x=-1交OA₁于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F﹒
由已知，∵∠AOA₁=∠C₁OD，
∴tanα=

C1D

OC1

=

1

2

，
∴C1D=

1

2

OC1=1，
即點(diǎn)D是B₁C₁的中點(diǎn)﹒
①當(dāng)點(diǎn)B₁為直角頂點(diǎn)，顯然A₁B₁與直線x=1的交點(diǎn)P₁即為所求﹒
由Rt△EFO∽R(shí)t△EA₁P₁，可得P₁點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2

5

-2）；
②當(dāng)點(diǎn)C₁為直角頂點(diǎn)，顯然射線C₁O與直線x=1的交點(diǎn)P₃即為所求﹒
由Rt△OFP₃易得P₃點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，-2）；
③當(dāng)B₁C₁為斜邊時(shí)，以B₁C₁為直徑的圓與直線x=1的交點(diǎn)即為所求，
∵B₁C₁的中點(diǎn)D到直線x=1的距離恰好等于1，
∴以B₁C₁為直徑的圓與直線x=1的交點(diǎn)只有一個(gè)P₂﹒
又易得OD=

5

，∴P₂點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，

5

）﹒
故滿足題設(shè)條件的P點(diǎn)有三個(gè)：P₁（-1，2

5

-2），P₂（-1，

5

），P₃（-1，-2）；

（3）存在﹒顯然在如圖兩種情況中的P₁點(diǎn)、P₂點(diǎn)符合條件﹒
由圖1易得tanα=

3

；
由圖2中Rt△P₂A₁E∽R(shí)t△OFE可得
tanα=

8- 19

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的相似比等性質(zhì)，求有關(guān)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．