Question

如圖1，在直角坐標系中，反比例函數y=

k

x

(k＞0)的圖象與矩形AOBC的邊AC、BC分別相交于點E、F，且點C坐標為（4，3），將△CEF沿EF對折后，C點恰好落在OB上．
（1）求k的值；
（2）如圖2，在直角坐標系中，P點坐標為（2，-3），請在雙曲線上找兩點M、N，使四邊形OPMN是平行四邊形，求M、N的坐標．

Answer 1

分析：（1）作出折疊后的草圖，根據反比例函數解析式表示出點EF的坐標，過點E作EH⊥OB，可得△EGH∽△GFB，根據相似三角形的對應邊成比例列式整理，然后在△GFB中利用勾股定理計算即可求出k值；
（2）利用反比例函數解析式設出點M的坐標，然后把平行四邊形OPMN看作是邊PM沿PO方向平移得到的，根據點P與點O對應關系，由點M的坐標表示出點N的坐標，然后再代入函數解析式，計算即可求解．

解答：解：（1）設E（

k

3

，3），F（4，

k

4

），
將△CEF沿EF對折后，C點恰好落在OB邊上的G點，作EH⊥OB，垂足為H，
∵∠EGH+∠HEG=90°∠EGH+∠FGB=90°，
∴∠HEG=∠FGB，
又∵∠EHG=∠GBF=90°，
∴△EGH∽△GFB（AA），
∴

EH

GB

=

EG

GF

，
代入解得：GB=

3×(3- k 4 )

(4- k 3 )

=

9

4

，
在Rt△GBF中，GF²=GB²+BF²，代入得(3-

k

4

)2=(

9

4

)2+(

k

4

)2，
解得k=

21

8

；


（2）平行四邊形OPMN，可以看成線段PM沿PO的方向平移至ON處所得．
設M（a，

21

8a

），
∵P（2，-3）的對應點O（0，0），
∴N（a-2，

21

8a

+3），
代入反比例解析式得：（a-2）（ 

21

8a

+3）=

21

8

，
整理得4a²-8a-7=0，
解得：a=

2+ 11

2

，a=

2- 11

2

（舍去），

21

8a

=

21×2

8(2+ 11 )

=

3 11 -6

4

，

2+ 11

2

-2=

11 -2

2

，

3 11 -6

4

+3=

3 11 +6

4

，
所以M（

2+ 11

2

，

3 11 -6

4

），N（

11 -2

2

，

3 11 +6

4

）
或M（

11 -2

2

，

3 11 +6

4

）N（

2+ 11

2

，

3 11 -6

4

）．

點評：本題主要考查了反比例函數圖形與性質，折疊對稱的性質，以及平行四邊形的性質，利用平移得到平行四邊形從而把平行四邊形的問題轉化為點的平移進行求解是解答（2）的巧妙之處，希望同學們在解題時要開動腦筋，從多方位全面的考慮問題，此題難度較大，要仔細計算．