Question

（2012•達(dá)州）如圖1，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，2）、點(diǎn)B（-2，0），過點(diǎn)B和線段OA的中點(diǎn)C作直線BC，以線段BC為邊向上作正方形BCDE．
（1）填空：點(diǎn)D的坐標(biāo)為

（-1，3）

，點(diǎn)E的坐標(biāo)為

（-3，2）

．
（2）若拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A、D、E三點(diǎn)，求該拋物線的解析式．
（3）若正方形和拋物線均以每秒

5

個(gè)單位長度的速度沿射線BC同時(shí)向上平移，直至正方形的頂點(diǎn)E落在y軸上時(shí)，正方形和拋物線均停止運(yùn)動(dòng)．
①在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)正方形落在y軸右側(cè)部分的面積為s，求s關(guān)于平移時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量t的取值范圍．
②運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）構(gòu)造全等三角形，由全等三角形對應(yīng)線段之間的相等關(guān)系，求出點(diǎn)D、點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（3）本問非常復(fù)雜，須小心思考與計(jì)算：
①為求s的表達(dá)式，需要識(shí)別正方形（與拋物線）的運(yùn)動(dòng)過程．正方形的平移，從開始到結(jié)束，總共歷時(shí)

3

2

秒，期間可以劃分成三個(gè)階段：當(dāng)0＜t≤

1

2

時(shí)，對應(yīng)圖（3）a；當(dāng)

1

2

＜t≤1時(shí)，對應(yīng)圖（3）b；當(dāng)1＜t≤

3

2

時(shí)，對應(yīng)圖（3）c．每個(gè)階段的表達(dá)式不同，請對照圖形認(rèn)真思考；
②當(dāng)運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，點(diǎn)E到達(dá)y軸，點(diǎn)E（-3，2）運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E′（0，

7

2

），可知整條拋物線向右平移了3個(gè)單位，向上平移了

3

2

個(gè)單位．由此得到平移之后的拋物線解析式，進(jìn)而求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意可知：OB=2，OC=1．
如圖（1）所示，過D點(diǎn)作DH⊥y軸于H，過E點(diǎn)作EG⊥x軸于G．
易證△CDH≌△BCO，∴DH=OC=1，CH=OB=2，∴D（-1，3）；
同理△EBG≌△BCO，∴BG=OC=1，EG=OB=2，∴E（-3，2）．
∴D（-1，3）、E（-3，2）．

（2）拋物線經(jīng)過（0，2）、（-1，3）、（-3，2），
則

c=2 a-b+c=3 9a-3b+c=2

?
解得  

a=- 1 2 b=- 3 2 c=2

，
∴y=-

1

2

x2-

3

2

x+2．

（3）①當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸上時(shí)，t=

1

2

．
當(dāng)0＜t≤

1

2

時(shí)，如圖（3）a所示．
設(shè)D′C′交y軸于點(diǎn)F
∵tan∠BCO=

OB

OC

=2，又∵∠BCO=∠FCC′
∴tan∠FCC′=2，即

FC′

CC′

=2
∵CC′=

5

t，∴FC′=2

5

t．?
∴S_△CC′F?=

1

2

CC′•FC′=

1

2

5

t×2

5

t=5t²
當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，t=1．
當(dāng)

1

2

＜t≤1時(shí)，如圖（3）b所示．
設(shè)D′E′交y軸于點(diǎn)G，過G作GH⊥B′C′于H．
在Rt△BOC中，BC=

22+12

=

5

∴GH=

5

，∴CH=

1

2

GH=

5

2

∵CC′=

5

t，∴HC′=

5

t-

5

2

，∴GD′=

5

t-

5

2

∴S_{梯形CC′D′G}?=

1

2

（

5

t-

5

2

+

5

t） 

5

=5t-

5

4

當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸上時(shí)，t=

3

2

．
當(dāng)1＜t≤

3

2

時(shí)，如圖（3）c所示
設(shè)D′E′、E′B′分別交y軸于點(diǎn)M、N
∵CC′=

5

t，B′C′=

5

，
∴CB′=

5

t-

5

，?∴B′N=2CB′=2

5

t-2

5

∵B′E′=

5

，∴E′N=B′E′-B′N=3

5

-2

5

t
∴E′M=

1

2

E′N=

1

2

（3

5

-2

5

t）
∴S_△MNE′?=

1

2

（3

5

-2

5

t）•

1

2

（3

5

-2

5

t）=5t²-15t+

45

4

∴S_{五邊形B′C′D′MN}?=S_{正方形B′C′D′E′}?-S_△MNE′?=(

5

)2-（5t²-15t+

45

4

）=-5t²+15t-

25

4

綜上所述，S與x的函數(shù)關(guān)系式為：
當(dāng)0＜t≤

1

2

時(shí)，S=5t²
當(dāng)

1

2

＜t≤1時(shí)，S=5t-

5

4

當(dāng)1＜t≤

3

2

時(shí)，S=-5t²+15t-

25

4

②當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E′時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．如圖（3）d所示
∵∠CB′E′=∠BOC=90°，∠BCO=∠B′CE′
∴△BOC∽△E′B′C
∴

OB

B′E′

=

BC

E′C

∵OB=2，B′E′=BC=

5

∴

2

5

=

5

E′C

∴CE′=

5

2

∴OE′=OC+CE′=1+

5

2

=

7

2

∴E′（0，

7

2

）
由點(diǎn)E（-3，2）運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E′（0，

7

2

），可知整條拋物線向右平移了3個(gè)單位，向上平移了

3

2

個(gè)單位．
∵y=-

1

2

x2-

3

2

x+2=y=-

1

2

(x+

3

2

)2+

25

8

?
∴原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-

3

2

，

25

8

）
∴運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

，

37

8

）．

點(diǎn)評：本題是非常典型的動(dòng)線型綜合題，全面考查了初中數(shù)學(xué)代數(shù)幾何的多個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，包括：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求解析式、拋物線與幾何變換（平移）、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等．難點(diǎn)在于第（3）問，識(shí)別正方形和拋物線平移過程的不同階段是關(guān)鍵所在．作為中考壓軸題，本題涉及考點(diǎn)眾多，計(jì)算復(fù)雜，因而難度很大，對考生綜合能力要求很高，具有很好的區(qū)分度．