Question

【題目】定義：直線與直線互為“友好直線”，如：直線與互為“友好直線”．

（1）點(diǎn)在直線的“友好直線”上，則________．

（2）直線上的點(diǎn)又是它的“友好直線”上的點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）對(duì)于直線上的任意一點(diǎn)，都有點(diǎn)在它的“友好直線”上，求直線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）M（1，7）；（3）y=x-．

【解析】

（1）由“友好直線”可得直線y=-x+4的“友好直線”，代入可得m的值；
（2）先表示直線y=4x+3的“友好直線”，再分別代入列方程組可得M的坐標(biāo)；
（3）先表示直線y=ax+b的“友好直線”，并將點(diǎn)M和N分別代入可得方程組，得：（2b+2a-1）m=-a-2b，
根據(jù)對(duì)于任意一點(diǎn)M（m，n）等式均成立，則 ，可得結(jié)論．

（1）由題意得：直線y=-x+4的“友好直線”是：y=4x-1，
把（m，2）代入y=4x-1中，得：4m-1=2，
m=，
故答案為：；
（2）由題意知，y=4x+3的“友好直線”是y=3x+4，
又∵點(diǎn)M（m，n）是直線y=4x+3上的點(diǎn)，又是它的“友好直線”上的點(diǎn)，
∴ ，
∴解得 ，
∴點(diǎn)M（1，7）；
（3）∵點(diǎn)M（m，n）是直線y=ax+b上的任意一點(diǎn)，
∴am+b=n①，
∵點(diǎn)N（2m，m-2n）是直線y=ax+b的“友好直線”上的一點(diǎn)，
即N（2m，m-2n）在直線y=bx+a上
∴2bm+a=m-2n②，
將①代入②得，
2bm+a=m-2（am+b），
整理得：2bm+2am-m=-a-2b，
∴（2b+2a-1）m=-a-2b，
∵對(duì)于任意一點(diǎn)M（m，n）等式均成立，
∴ ，
解得 ，
∴y=x-．