Question

20．如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D，C關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，直線AD與y軸相交于點(diǎn)E．
（1）求直線AD的解析式；
（2）如圖1，直線AD上方的拋物線上有一點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，作FH平行于x軸交直線AD于點(diǎn)H，求△FGH周長(zhǎng)的最大值；
（3）如圖2，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，四邊形APQM是以PM為對(duì)角線的平行四邊形，點(diǎn)Q′與點(diǎn)Q關(guān)于直線AM對(duì)稱(chēng)，連接M Q′，P Q′．當(dāng)△PM Q′與□APQM重合部分的面積是?APQM面積的$\frac{1}{4}$時(shí)，求?APQM面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線解析式求得點(diǎn)A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)D，C關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)得點(diǎn)D坐標(biāo)，繼而利用待定系數(shù)法求解可得；
（2）設(shè)點(diǎn)F（x，-x²+2x+3），根據(jù)FH∥x軸及直線AD的解析式y(tǒng)=x+1可得點(diǎn)H（-x²+2x+2，-x²+2x+3），繼而表示出FH的長(zhǎng)度，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得FH的最值情況，易得△FGH為等腰直角三角形，從而可得其周長(zhǎng)的最大值；
（3）設(shè)P（0，p），根據(jù)平行四邊形性質(zhì)及點(diǎn)M坐標(biāo)可得Q（2，4+p），分P點(diǎn)在AM下方與P點(diǎn)在AM上方兩種情況，根據(jù)重合部分的面積關(guān)系及對(duì)稱(chēng)性求得點(diǎn)P的坐標(biāo)后即可得?APQM面積．

解答 解：（1）令-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），C（0，3），
∵點(diǎn)D，C關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，
∴D（2，3），
∴直線AD的解析式為：y=x+1；

（2）設(shè)點(diǎn)F（x，-x²+2x+3），
∵FH∥x軸，
∴H（-x²+2x+2，-x²+2x+3），
∴FH=-x²+2x+2-x=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴FH的最大值為$\frac{9}{4}$，
由直線AD的解析式為：y=x+1可知∠DAB=45°，
∵FH∥AB，
∴∠FHG=∠DAB=45°，
∴FG=GH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{9}{4}$=$\frac{9\sqrt{2}}{8}$
故△FGH周長(zhǎng)的最大值為$\frac{9\sqrt{2}}{8}$×2+$\frac{9}{4}$=$\frac{9+9\sqrt{2}}{4}$；

（3）①當(dāng)P點(diǎn)在AM下方時(shí)，如圖1，

設(shè)P（0，p），易知M（1，4），從而Q（2，4+p），
∵△PM Q′與?APQM重合部分的面積是?APQM面積的$\frac{1}{4}$，
∴PQ′必過(guò)AM中點(diǎn)N（0，2），
∴可知Q′在y軸上，
易知QQ′的中點(diǎn)T的橫坐標(biāo)為1，而點(diǎn)T必在直線AM上，
故T（1，4），從而T、M重合，
∴?APQM是矩形，
∵易得直線AM解析式為：y=2x+2，
∵M(jìn)Q⊥AM，
∴直線QQ′：y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$，
∴4+p=-$\frac{1}{2}$×2+$\frac{9}{2}$，
解得：p=-$\frac{1}{2}$，
∴PN=$\frac{5}{2}$，
∴S_□APQM=2S_△AMP=4S_△ANP=4×$\frac{1}{2}$×PN×AO=4×$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×1=5；

②當(dāng)P點(diǎn)在AM上方時(shí)，如圖2，

設(shè)P（0，p），易知M（1，4），從而Q（2，4+p），
∵△PM Q′與?APQM重合部分的面積是?APQM面積的$\frac{1}{4}$，
∴PQ′必過(guò)QM中點(diǎn)R（$\frac{3}{2}$，4+$\frac{p}{2}$），
易得直線QQ′：y=-$\frac{1}{2}$x+p+5，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=2x+2\\ y=-\frac{1}{2}x+p+5\end{array}$，
解得：x=$\frac{6+2p}{5}$，y=$\frac{22+4p}{5}$，
∴H（$\frac{6+2p}{5}$，$\frac{22+4p}{5}$），
∵H為QQ′中點(diǎn)，
故易得Q′（$\frac{2+4p}{5}$，$\frac{24+3p}{5}$），
由P（0，p）、R（$\frac{3}{2}$，4+$\frac{p}{2}$）易得直線PR解析式為：y=（$\frac{8}{3}$-$\frac{p}{3}$）x+p，
將Q′（$\frac{2+4p}{5}$，$\frac{24+3p}{5}$）代入到y(tǒng)=（$\frac{8}{3}$-$\frac{p}{3}$）x+p得：$\frac{24+3p}{5}$=（$\frac{8}{3}$-$\frac{p}{3}$）×$\frac{2+4p}{5}$+p，
整理得：p²-9p+14=0，
解得p₁=7，p₂=2（與AM中點(diǎn)N重合，舍去），
∴P（0，7），
∴PN=5，
∴S_□APQM=2S_△AMP=2×$\frac{1}{2}$×PN×|x_M-x_A|=2×$\frac{1}{2}$×5×2=10．
綜上所述，?APQM面積為5或10．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)與矩形的判定、性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)P的位置分類(lèi)討論及根據(jù)已知條件求出點(diǎn)P的坐標(biāo)是解決本題的難點(diǎn)．