【題目】如圖,點(diǎn)P是∠MON內(nèi)的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PA⊥OM于點(diǎn)A,PB⊥ON于點(diǎn)B,且OA=OB.
(1)求證:PA=PB;
(2)如圖②,點(diǎn)C是射線(xiàn)AM上一點(diǎn),點(diǎn)D是線(xiàn)段OB上一點(diǎn),且∠CPD+∠MON=180°,若OC=8,OD=5.求線(xiàn)段OA的長(zhǎng).
(3)如圖③,若∠MON=60°,將PB繞點(diǎn)P以每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn),12秒后,PA開(kāi)始繞點(diǎn)P以每秒10°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn),PA旋轉(zhuǎn)270°后停止,此時(shí)PB也隨之停止旋轉(zhuǎn).旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,PA所在直線(xiàn)與OM所在直線(xiàn)的交點(diǎn)記為G,PB所在直線(xiàn)與ON所在直線(xiàn)的交點(diǎn)記為H.問(wèn)PB旋轉(zhuǎn)幾秒時(shí),PG=PH?
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)OA=6.5;(3)滿(mǎn)足條件的t的值為15s或25s或37.5s.
【解析】
(1)如圖1中,連接OP,證明Rt△OPA≌Rt△OPB(HL)即可解決問(wèn)題.
(2)如圖②中,想辦法證明OC+OD=2OA即可解決問(wèn)題.
(3)設(shè)點(diǎn)P的旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒.分四種情形①當(dāng)0<t<12時(shí),不存在.②當(dāng)12≤t<21時(shí),如圖3-1中.③當(dāng)21≤t<30時(shí),如圖3-2中.④當(dāng)30≤t<39時(shí),如圖3-3中,分別求解即可解決問(wèn)題.
(1)證明:如圖①中,連接OP.
∵PA⊥OM,PB⊥ON,
∴∠OAP=∠OBP=90°,
∵OA=OB,OP=OP,
∴Rt△OPA≌Rt△OPB(HL),
∴PA=PB.
(2)如圖②中,
∵∠PAO=∠PBO=90°,
∴∠AOB+∠APB=180°,
∵∠CPD+∠AOB=180°,
∴∠CPD=∠APB,
∴∠APC=∠BPD,
∵PA=PB,∠PAC=∠PBD=90°,
∴△PAC≌△PBD(ASA),
∴AC=BD,
∴OC+OD=OA+AC+OB-BD=2OA=13,
∴OA=6.5.
(3)設(shè)點(diǎn)P的旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒.
①當(dāng)0<t<12時(shí),此時(shí)只有PB旋轉(zhuǎn),PA沒(méi)有旋轉(zhuǎn),故不存在PG=PH.
②當(dāng)PA旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為0°—90°時(shí),時(shí)間t的取值為:12≤t<21;
∴當(dāng)12≤t<21時(shí),如圖3-1中,∠APG=(10t-120)°,∠BPH=2t°,
當(dāng)∠APG=∠BPH時(shí),△PAG≌△PBH,可得PG=PH,
此時(shí)10t-120=2t,
∴t=15.
③當(dāng)PA旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為90°—180°時(shí),時(shí)間t的取值為:21≤t<30,
∴當(dāng)21≤t<30時(shí),如圖3-2中,∠APG=180°-∠APA′=180°-(10t-120)°=(300-10t)°,∠BPH=2t,
當(dāng)∠APG=∠BPH時(shí),△PAG≌△PBH,可得PG=PH,
此時(shí)300-10t=2t,
∴t=25.
④當(dāng)PA旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為180°—270°時(shí),時(shí)間t的取值為:30≤t<39;
當(dāng)30≤t<39時(shí),如圖3-3中,∠APG=(10t-300)°,∠BPH=2t,
當(dāng)∠APG=∠BPH時(shí),△PAG≌△PBH,可得PG=PH,
此時(shí)10t-300=2t,
∴t=37.5;
綜上所述,滿(mǎn)足條件的t的值為15s或25s或37.5s.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,菱形OABC的一邊OA在x軸的負(fù)半軸上,O是坐標(biāo)原點(diǎn),tan∠AOC=,反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,與AB交于點(diǎn)D,若△COD的面積為20,則k的值等于_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在數(shù)軸上,數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)的絕對(duì)值,記作
提出問(wèn)題:(1)點(diǎn)所表示的數(shù)如圖所示,則兩點(diǎn)間的距離是 ,兩點(diǎn)間的距離是_____,兩點(diǎn)間的距離是 .
探究結(jié)論:(2)在數(shù)軸上,若兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是,則____ (用含有的式子表示).
拓展應(yīng)用:(3)請(qǐng)利用.上述結(jié)論,解決下列問(wèn)題:
①和在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離為
②
③滿(mǎn)足的未知數(shù)的值為
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某機(jī)動(dòng)車(chē)出發(fā)前油箱內(nèi)有油42L,行駛?cè)舾尚r(shí)后,途中在加油站加油若干升,油箱中余油量Q(L)與行駛時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,根據(jù)圖回答問(wèn)題:
(1)機(jī)動(dòng)車(chē)行駛 h后加油;
(2)加油前油箱余油量Q與行駛時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式是 ;
(3)中途加油 L;
(4)如果加油站距目的地還有230km,車(chē)速為40km/h,要到達(dá)目的地,油箱中的油是否夠用?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在如圖所示的方格紙中,小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn),是一個(gè)格點(diǎn)三角形(即的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上),根據(jù)要求回答下列問(wèn)題:
畫(huà)出先向左平移6格,再向上平移格所得的;
利用網(wǎng)格畫(huà)出中邊上的高.
過(guò)點(diǎn)畫(huà)直線(xiàn),將分成面積相等的兩個(gè)三角形;
畫(huà)出與有一條公共邊,且與全等的格點(diǎn)三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】張師傅駕駛某種型號(hào)轎車(chē)從甲地去乙地,該種型號(hào)轎車(chē)每百公里油耗為10升(每行駛100公里需消耗10升汽油).途中在加油站加了一次油,加油前,根據(jù)儀表盤(pán)顯示,油箱中還剩4升汽油.假設(shè)加油前轎車(chē)以80公里/小時(shí)的速度勻速行駛,加油后轎車(chē)以90公里/小時(shí)的速度勻速行駛(不計(jì)加油時(shí)間),已知油箱中剩余油量y(升)與行駛時(shí)間t(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
(1) 加油前,該轎車(chē)每小時(shí)消耗汔油 升;加油后,該轎車(chē)每小時(shí)消耗汔油 升;
(2)求加油前油箱剩余油量y(升)與行駛時(shí)間t(小時(shí))之間的函數(shù)表達(dá)式;
(3)求張師傅在加油站加了多少升汽油.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形放置在平面直角坐標(biāo)系上,點(diǎn)分別在軸,軸的正半軸上,點(diǎn)的坐標(biāo)是,其中,反比例函數(shù)y=的圖象交交于點(diǎn).
(1)_____(用的代數(shù)式表示)
(2)設(shè)點(diǎn)為該反比例函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn),且它的橫坐標(biāo)恰好等于,連結(jié).
①若的面積比矩形面積多8,求的值。
②現(xiàn)將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn),若點(diǎn)恰好落在軸上,直接寫(xiě)出的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為,,直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)、與軸交于點(diǎn).
(1)直線(xiàn)解析式為,求直線(xiàn)與交點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)四邊形的面積是________;
(3)求證:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】王紅有5張寫(xiě)著以下數(shù)字的卡片,請(qǐng)按要求抽出卡片,完成下列各題:
(1)從中取出2張卡片,使這2張卡片上數(shù)字乘積最小,最小值是 .
(2)從中取出2張卡片,使這2張卡片數(shù)字相除商最大,最大值是 .
(3)從中取出除0以外的4張卡片,將這4個(gè)數(shù)字進(jìn)行加、減、乘、除或乘方等混合運(yùn)算,使結(jié)果為24,(注:每個(gè)數(shù)字只能用一次,如:23×[1﹣(﹣2)]),請(qǐng)另寫(xiě)出一種符合要求的運(yùn)算式子 .
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