Question

如圖，在△ABC中，D是BC邊上任意一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F．
（1）求證：DF=AC； 
（2）若AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并說明理由．

Answer 1

考點：等腰梯形的判定,平行四邊形的判定與性質

專題：

分析：（1）先證△AEF≌△DEC；再證四邊形ACDF是平行四邊形．
（2）當AD∥BF時，四邊形AFBD是矩形；當AD不平行BF時，四邊形AFBD是等腰梯形．

解答：證明：（1）∵AF∥BC，
∴∠EAF=∠EDC，
∵E是AD的中點，
∴AE=DE，
在△EAF和△EDC中

∠EAF=∠EDC AE=DE ∠AEF=∠DEC

∴△EAF≌△EDC（ASA），
∴DC=AF，
又∵AF∥BC，
∴四邊形ACDF是平行四邊形，
∴DF=AC，
（2）四邊形AFBD是矩形．
證明：∵AB=AC，D是BC的中點，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AF=BD，AF∥BC，
∴四邊形AFBD是平行四邊形，
∴四邊形AFBD是矩形．

點評：本題考查矩形的判定和全等三角形的判定與性質．要熟知這些判定定理才會靈活運用，根據性質才能得到需要的相等關系．