【題目】如圖,正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,E為BD上的一點(diǎn),連接EA,將EA繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段EF,連接FB.

(1)如圖a,點(diǎn)E在OB上,

①求FEB+BAE的度數(shù);

②求證:ED﹣EB=BF;

(2)如圖b,當(dāng)E在OD上時(shí),按已知條件補(bǔ)全圖形,直接寫出ED、EB、BF三條線段的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)45°;②見解析;(2)EB﹣ED=BF.

【解析】

試題分析:(1)①根據(jù)已知條件易證得BAE=F,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出F+FEB=OBC=45°,即可求得FEB+BAE=45°;②在OA上截取OH=OE,連接EH,四邊形ABCD是正方形,求得OHE=OEH=45°,由AEF=90°,得出FEB+AEH=45°,即可求得AEH=F,根據(jù)FEB+AEO=90°,AEO+EAH=90°得到FEB=EAH,然后根據(jù)ASA證得FEB≌△EAH,得出BF=EH,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得=得出OE=BF,因?yàn)镋D﹣EB=OD+OE﹣(OB﹣OE)=2OE,即可證得ED﹣EB=BF;

(2)在OC上截取OH=OE,連接EH,得出AH=BE,根據(jù)ACBD,AEF=90°,得出EAH=FEB,根據(jù)SAS證得FEB≌△EAH,得出BF=EH,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得=得出OE=BF,因?yàn)镋B﹣ED=2OE,即可證得EB﹣ED=BF.

解:(1)①如圖a,∵∠AEF=90°,ABF=90°1=2,

∴∠BAE=F,

∵∠F+FEB=OBC=45°

∴∠FEB+BAE=45°;

②在OA上截取OH=OE,連接EH,

四邊形ABCD是正方形,

∴∠AOB=90°,

∴∠OHE=OEH=45°,

∵∠AEF=90°,

∴∠FEB+AEH=45°,

∴∠AEH=F,

∵∠AEF=90°

∴∠FEB+AEO=90°,

∵∠AEO+EAH=90°

∴∠FEB=EAH,

FEBEAH中,

,

∴△FEB≌△EAH(ASA),

BF=EH,

在等腰直角三角形EOH中,=

OE=BF,

ED﹣EB=OD+OE﹣(OB﹣OE)=2OE,

ED﹣EB=BF;

(2)ED、EB、BF三條線段的數(shù)量關(guān)系為:EB﹣ED=BF,

在OC上截取OH=OE,連接EH,

四邊形ABCD是正方形,

OA=OB,

OA+OH=OB+OE,即AH=BE,

ACBD,AEF=90°,

∴∠EAH=FEB

FEBEAH中,

∴△FEB≌△EAH(SAS),

BF=EH

在等腰直角三角形EOH中,=

OE=BF,

BE﹣DE=2OE,

EB﹣ED=BF.

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