【題目】如圖1,拋物線y=﹣x2+mx+nx軸于點A﹣20)和點B,交y軸于點C0,2).

1)求拋物線的函數(shù)表達式;

2)若點M在拋物線上,且SAOM=2SBOC,求點M的坐標;

3)如圖2,設點N是線段AC上的一動點,作DNx軸,交拋物線于點D,求線段DN長度的最大值.

【答案】1y=x2x+2 2)(02)或(﹣1,2)或(,2)或(,2);(31.

【解析】1)把點AC的坐標分別代入函數(shù)解析式,列出關于系數(shù)的方程組,通過解方程組求得系數(shù)的值;

2)設M點坐標為(m,n),根據(jù)SAOM=2SBOC列出關于m的方程,解方程求出m的值,進而得到點P的坐標;

3先運用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x+2,再設N點坐標為(x,x+2),則D點坐標為(x,-x2-x+2),然后用含x的代數(shù)式表示ND,根據(jù)二次函數(shù)的性質即可求出線段ND長度的最大值.

解:(1A﹣2,0),C0,2)代入拋物線的解析式y=﹣x2+mx+n,

,

解得,

∴拋物線的解析式為y=﹣x2x+2

2)由(1)知,該拋物線的解析式為y=﹣x2x+2,則易得B1,0),設Mmn)然后依據(jù)SAOM=2SBOC列方程可得:

AO×|n|=2××OB×OC,

×2×|m2m+2|=2

m2+m=0m2+m﹣4=0,

解得m=0或﹣1,

∴符合條件的點M的坐標為:(02)或(﹣1,2)或(,2)或(,2).

3)設直線AC的解析式為y=kx+b,將A﹣2,0),C0,2)代入

得到,解得,

∴直線AC的解析式為y=x+2

Nx,x+2)(﹣2≤x≤0),則Dx,x2x+2),

ND=x2x+2x+2=﹣x2﹣2x=﹣x+12+1,

﹣10,

x=﹣1時,ND有最大值1

ND的最大值為1

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