【題目】如圖1,在正方形ABCD中,E是AB上一點(diǎn),F是AD延長線上一點(diǎn),且DF=BE.易證:CE=CF.
(1)在圖1中,若G在AD上,且∠GCE=450.試猜想GE,BE,GD三線段之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
(2)運(yùn)用(1)中解答所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識,完成下面兩題:
①如圖2,在四邊形ABCD中∠B=∠D=900,BC=CD,點(diǎn)E,點(diǎn)G分別是AB邊,AD邊上的動點(diǎn).若∠BCD=α,∠ECG=β,試探索當(dāng)α和β滿足什么關(guān)系時,圖1中GE,BE,GD三線段之間的關(guān)系仍然成立,并說明理由.
②在平面直角坐標(biāo)中,邊長為1的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A,C分別在y軸、x軸的正半軸上,點(diǎn)O在原點(diǎn).現(xiàn)將正方形OABC繞O點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時停止旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過程中,AB邊交直線y=x于點(diǎn)M,BC邊交x軸于點(diǎn)N(如圖3).設(shè)△MBN的周長為p,在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中,p值是否有變化?若不變,請直接寫出結(jié)論.
【答案】(1)GE=BE+GD,證明見解析;(2)①α=2β,理由見解析;<span style="color: rgb(169, 68, 66); font-family: Meiryo; font-size: 15.3333px; line-height: 23px; background-color: rgb(245, 245, 245);">②</span>在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中,p值無變化.理由見解析.
【解析】試題分析:(1)易知△CBE≌△CDF,易證得∠ECF=∠BCD=90°,又由∠GCE=45°,可得∠GCF=∠GCE=45°,即可證得△ECG≌△FCG,繼而可得GE=BE+GD;(2) ①α=2β,延長AD到F點(diǎn),使DF=BE,連接CF,可證△EBC≌△FDC,即GE=BE+GD;②在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中,p值無變化.延長BA交y軸于E點(diǎn),可以得出△OAE≌△OCN,△OME≌△OMN,p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2.
試題解析:
(1)∵在△EBC和△FDC中,∴△EBC≌△FDC,∴∠DCF=∠BCE,
∵∠GCE=45°,∴∠BCE+∠DCG=90°﹣45°=45°,即∠DCG+∠DCF=45°,∴GC=GC,ECG=∠FCG,
在△ECG和△FCG中,,∴△ECG≌△FCG,∴EG=GF,即GE=BE+GD.
(2)①α=2β.如圖,
延長AD到F點(diǎn),使DF=BE,連接CF,可證△EBC≌△FDC,
則∠BCE+∠DCG=∠GCF,由α=2β可知∠ECG=∠GCF,可證△ECG≌△FCG,故EG=GF,即GE=BE+GD.
②在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中,p值無變化.
證明:如圖,
延長BA交y軸于E點(diǎn),則∠AOE=45°﹣∠AOM,∠CON=90°﹣45°﹣∠AOM=45°﹣∠AOM,
∴∠AOE=∠CON.又∵OA=OC,∠OAE=180°﹣90°=90°=∠OCN.
在△OAE和△OCN中,.∴△OAE≌△OCN(ASA).∴OE=ON,AE=CN.
在△OME和△OMN中.∴△OME≌△OMN(SAS).∴MN=ME=AM+AE.
∴MN=AM+CN,∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2.
∴在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中,p值無變化.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)為軸負(fù)半軸上一點(diǎn),點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn),,,其中,滿足關(guān)系式:+.
(1)= ,= ,△的面積為 ;
(2)如圖2,若⊥,點(diǎn)線段上一點(diǎn),連接,延長交于點(diǎn),當(dāng)∠=∠時,求證:平分∠;
(3)如圖3,若⊥,點(diǎn)是點(diǎn)與點(diǎn)之間一動點(diǎn),連接,始終平分∠,當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)與點(diǎn)之間運(yùn)動時,的值是否變化?若不變,求出其值;若變化,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,對于任意兩點(diǎn)A(x1,y1)B (x2,y2),規(guī)定運(yùn)算:
(1)A⊕B=(x1+x2,y1+y2);
(2)A⊙B=x1x2+y1y2;
(3)當(dāng)x1=x2且y1=y2時,A=B.
有下列四個命題:
①若有A(1,2),B(2,﹣1),則A⊕B=(3,1),A⊙B=0;
②若有A⊕B=B⊕C,則A=C;
③若有A⊙B=B⊙C,則A=C;
④(A⊕B)⊕C=A⊕(B⊕C)對任意點(diǎn)A、B、C均成立.
其中正確的命題為______(只填序號)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】目前我國建立了比較完善的經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生資助體系.某校去年上半年發(fā)放給每個經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生389元,今年上半年發(fā)放了438元,設(shè)每半年發(fā)放的資助金額的平均增長率為x,則下面列出的方程中正確的是( 。
A. 438(1+x)2=389 B. 389(1+x)2=438
C. 389(1+2x)2=438 D. 438(1+2x)2=389
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】兩名同學(xué)在調(diào)查時使用下面兩種提問方式,你認(rèn)為哪一種更好些( )
A. 難道你不認(rèn)為科幻片比武打片更有意思嗎?
B. 你更喜歡哪一類電影 ——科幻片還是武打片?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2016年5月6日,中國第一條具有自主知識產(chǎn)權(quán)的長沙磁浮線正式開通運(yùn)營,該路線連接了長沙火車南站和黃花國際機(jī)場兩大交通樞紐,沿線生態(tài)綠化帶走廊的建設(shè)尚在進(jìn)行中,屆時將給乘客帶來美的享受.星城渣土運(yùn)輸公司承包了某標(biāo)段的土方運(yùn)輸任務(wù),擬派出大、小兩種型號的渣土運(yùn)輸車運(yùn)輸土方,已知2輛大型渣土運(yùn)輸車與3輛小型渣土運(yùn)輸車一次共運(yùn)輸土方31噸,5輛大型渣土運(yùn)輸車與6輛小型渣土運(yùn)輸車一次共運(yùn)輸土方70噸.
(1)一輛大型渣土運(yùn)輸車和一輛小型渣土運(yùn)輸車一次各運(yùn)輸土方多少噸?
(2)該渣土運(yùn)輸公司決定派出大、小兩種型號的渣土運(yùn)輸車共20輛參與運(yùn)輸土方,若每次運(yùn)輸土方總量不少于148噸,且小型渣土運(yùn)輸車至少派出2輛,則有哪幾種派車方案?
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