Question

（1）x．y均為整數(shù)，若5|（x+9y），求證：5|（8x+7y）．
（2）x．y，z均為整數(shù)，若11|（7x+2y-5z），求證：11|（3x-7y+12z）．

Answer 1

考點：數(shù)的整除性

專題：

分析：（1）先根據(jù)整除的性質(zhì)：如果整數(shù)a能被自然數(shù)c整除，那么a的倍數(shù)（整數(shù)倍）也能被c整除，得出5|8（x+9y），5|65y，再由如果兩個整數(shù)a、b都能被c整除，那么a與b的差也能被c整除得出
5|8（x+9y）-65y，即可證明出5|（8x+7y）；
（2）先根據(jù)整除的性質(zhì)：如果整數(shù)a能被自然數(shù)c整除，那么a的倍數(shù)（整數(shù)倍）也能被c整除，得出11|（7x+2y-5z）×2，11|11×（x+y-2z），再由如果兩個整數(shù)a、b都能被c整除，那么a與b的差也能被c整除得出11|（7x+2y-5z）×2-11×（x+y-2z），即可證明出11|（3x-7y+12z）．

解答：證明：（1）∵5|（x+9y），x、y均為整數(shù)，
∴5|8（x+9y），
又∵5|65y，y為整數(shù)，
∴5|8（x+9y）-65y，
而8x+7y=8x+72y-65y=8（x+9y）-65y，
故5|（8x十7y）；

（2）∵11|7x+2y-5z，x、y、z均為整數(shù)，
∴11|（7x+2y-5z）×2，
∵（7x+2y-5z）×2=14x+4y-10z，
∵x、y、z均為整數(shù)，
∴x+y-2z為整數(shù)，
∴11|11×（x+y-2z），
∵11×（x+y-2z）=11x+11y-22z，
∴（7x+2y-5z）×2-11×（x+y-2z）=3x-7y+12z，
∴11|3x-7y+12z．

點評：本題主要考查了整除的性質(zhì)，難度適中，將（1）中8x+7y寫成x+9y的倍數(shù)與5的倍數(shù)的代數(shù)和的形式及（2）中3x-7y+12z寫成7x+2y-5z的倍數(shù)與11的倍數(shù)的代數(shù)和的形式是解題的關(guān)鍵．