Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線與反比例函數(shù)（k≠0）的圖象交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B是x軸正半軸上一點(diǎn)，且AB⊥OA．

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（3）先在∠AOB的內(nèi)部求作點(diǎn)P，使點(diǎn)P到∠AOB的兩邊OA、OB的距離相等，且PA=PB；再寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．（不寫作法，保留作圖痕跡，在圖上標(biāo)注清楚點(diǎn)P）

Answer 1

【答案】（1）；（2）（4，0）；（3）作圖見解析，P（3，）．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法先求出點(diǎn)A縱坐標(biāo)，再求出反比例系數(shù)k即可．

（2）過點(diǎn)A作AC⊥OB⊥，垂足為點(diǎn)C．在Rt△AOC中先求出OA，再在Rt△AOB中求出OB即可解決問題．

（3）畫出∠AOB的平分線OM，線段AB的垂直平分線EF，OM與EF的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P（m，m），根據(jù)PA2=PB2，列出方程即可解決問題．

（1）由題意，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，m）．

∵點(diǎn)A在正比例函數(shù)yx的圖象上，∴m．∴點(diǎn)A的坐標(biāo)（1，）．

∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y的圖象上，∴，解得：k，∴反比例函數(shù)的解析式為y．

（2）過點(diǎn)A作AC⊥OB于C，可得：OC=1，AC．

∵AC⊥OB，∴∠ACO=90°．

由勾股定理，得：AO=2，∴OCAO，∴∠OAC=30°，∴∠AOC=60°．

∵AB⊥OA，∴∠OAB=90°，∴∠ABO=30°，∴OB=2OA，∴OB=4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，0）．

（3）如圖，作∠AOB的平分線OM，AB的垂直平分線EF，OM與EF的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P．

∵∠POB=30°，∴可以設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（m，m）．

∵PA2=PB2，∴（m﹣1）2+（）2=（m﹣4）2+（m）2，解得：m=3，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，）．