Question

6．P是⊙O內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的任意一條弦AB，我們把PA•PB的值稱為點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“冪值”． 
（1）⊙O的半徑為5，OP=3．
①如圖1，若點(diǎn)P恰為弦AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“冪值”為16；
②判斷當(dāng)弦AB的位置改變時(shí)，點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“冪值”是否為定值，若是定值，證明你的結(jié)論；若不是定值，求點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“冪值”的取值范圍．
（2）若⊙O的半徑為r，OP=d，請(qǐng)參考（1）的思路，用含r、d的式子表示點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“冪值”或“冪值”的取值范圍不填；
（3）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為4，若在直線y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+b上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“冪值”為13，請(qǐng)寫出b的取值范圍-2≤b≤2．

Answer 1

分析 （1）①如圖1所示：連接OA、OB、OP．由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)得到△PBO為直角三角形，然后依據(jù)勾股定理可求得PB的長，然后依據(jù)冪值的定義求解即可；
②過點(diǎn)P作⊙O的弦A′B′⊥OP，連接AA′、BB′．先證明△APA′∽△B′PB，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到PA•PB=PA′•PB′從而得出結(jié)論；
（2）連接OP、過點(diǎn)P作AB⊥OP，交圓O與A、B兩點(diǎn)．由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知AP=PB，然后在Rt△APO中，依據(jù)勾股定理可知AP²=OA²-OP²，然后將d、r代入可得到問題的答案；
（3）過點(diǎn)O作OP⊥AB．先求得OP的解析式，然后由直線AB和OP的解析式，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后由題意圓的冪值為13，半徑為4可求得d的值，然結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式可求得得到關(guān)于b的方程從而可求得b的極值，故此可確定出b的取值范圍．

解答 解：（1）①如圖1所示：連接OA、OB、OP．

∵OA=OB，P為AB的中點(diǎn)，
∴OP⊥AB．
∵在△PBO中，由勾股定理得：PB=$\sqrt{O{B}^{2}-O{P}^{2}}$=4，
∴PA=PB=4．
∴⊙O的“冪值”=4×4=16．
故答案為：16．
②當(dāng)弦AB的位置改變時(shí)，點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“冪值”為定值．
證明：如圖，AB為⊙O中過點(diǎn)P的任意一條弦，且不與OP垂直．過點(diǎn)P作⊙O的弦A′B′⊥OP，連接AA′、BB′．

∵在⊙O中，∠AA′P=∠B′BP，∠APA′=∠BPB′，
∴△APA′∽△B′PB．
∴$\frac{PA}{PB'}=\frac{PA'}{PB}$．
∴PA•PB=PA′•PB′=16．
∴當(dāng)弦AB的位置改變時(shí)，點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“冪值”為定值．
（2）如圖3所示；連接OP、過點(diǎn)P作AB⊥OP，交圓O與A、B兩點(diǎn)．

∵AO=OB，PO⊥AB，
∴AP=PB．
∴點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“冪值”=AP•PB=PA²．
在Rt△APO中，AP²=OA²-OP²=r²-d²．
∴關(guān)于⊙O的“冪值”=r²-d²．
（3）如圖4所示：過點(diǎn)O作OP⊥AB．

∵OP⊥AB，
∴直線OP的解析式為y=-$\sqrt{3}$x．
將y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+b與y=-$\sqrt{3}$x聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+b}\\{y=-\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，
解得：x=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$b，y=$\frac{3}{4}b$．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{\sqrt{3}}{4}b$，$\frac{3}{4}b$）．
∵點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“冪值”為13，
∴r²-d²=13．
∴d²=3，即（-$\frac{\sqrt{3}}{4}b$）²+（$\frac{3}{4}b$）²=3．
整理得：b²=4．
∴b的取值范圍是-2≤b≤2．
故答案為：-2≤b≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了冪值的定義、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、兩點(diǎn)間的距離公式，依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)于b的方程，從而求得b的極值是解題的關(guān)鍵．