Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=m，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，在邊DA上以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，連接CP，作點(diǎn)D關(guān)于直線PC的對(duì)稱點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．

（1）若m=6，求當(dāng)P，E，B三點(diǎn)在同一直線上時(shí)對(duì)應(yīng)的t的值．

（2）已知m滿足：在動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D到點(diǎn)A的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，有且只有一個(gè)時(shí)刻t，使點(diǎn)E到直線BC的距離等于3，求所有這樣的m的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ≤m＜4．

【解析】

試題分析：（1）只要證明△ABD∽△DPC，可得，由此求出PD即可解決問題；

（2）分兩種情形求出AD的值即可解決問題：①如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí)，點(diǎn)E在BC的下方，點(diǎn)E到BC的距離為3．②如圖3中，當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí)，點(diǎn)E在BC的上方，點(diǎn)E到BC的距離為3

試題解析：（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ADC=∠A=90°，

∴∠DCP+∠CPD=90°，

∵∠CPD+∠ADB=90°，

∴∠ADB=∠PCD，

∵∠A=∠CDP=90°，

∴△ABD∽△DPC，

∴，

∴，

∴PD=,

∴t=s時(shí)，B、E、D共線．

（2）如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí)，點(diǎn)E在BC的下方，點(diǎn)E到BC的距離為3．

作EQ⊥BC于Q，EM⊥DC于M．則EQ=3，CE=DC=4

易證四邊形EMCQ是矩形，

∴CM=EQ=3，∠M=90°，

∴EM=，

∵∠DAC=∠EDM，∠ADC=∠M，

∴△ADC∽△DME，

，

∴，

∴AD=4，

如圖3中，當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí)，點(diǎn)E在BC的上方，點(diǎn)E到BC的距離為3．

作EQ⊥BC于Q，延長QE交AD于M．則EQ=3，CE=DC=4

在Rt△ECQ中，QC=DM=，

由△DME∽△CDA，

∴，

∴，

∴AD=，

綜上所述，在動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D到點(diǎn)A的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，有且只有一個(gè)時(shí)刻t，使點(diǎn)E到直線BC的距離等于3，這樣的m的取值范圍≤m＜4．