【題目】在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,M是AD邊的中點,P是射線AB上的一個動點(不與A,B重合),MN⊥PM交射線BC于N點.

(1)如圖1,當(dāng)點N與點C重合時,求AP的長;

(2)如圖2,在點N的運(yùn)動過程中,求證: 為定值;

(3)在射線AB上,是否存在點P,使得△DCN∽△PMN?若存在,求此時AP的長;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:∵矩形ABCD,∴∠A=∠D=90°,

∵M(jìn)N⊥PM,

∴∠APM=90°﹣∠AMP=∠DMC,

∴△APM∽△DMC,

= ,

∵點M是AD的中點,

∴MD=AM= AD=3,

∵CD=AB=4,

= ,

∴AP=


(2)

解:證明:①當(dāng)點P在線段AB上時,如圖2,

延長MN交DC的延長線于G,

同(1)的方法得出,△APM∽△DMG,

= ,

= =

+ = + ,

∵AD∥CN,

∴∠CNG=∠DMG=∠APM,

∵∠PAM=∠NCG=90°,

∴△APM∽△CNG,

,

= ,

= ,

=

②當(dāng)點P在AB的延長線上時,如圖,

同①的方法得出,△APM∽△DMH,

,

,

,

同①的方法得出,△APM∽△CNH,

,

= ;

即: 是定值


(3)

解:存在點P,使得△DCN∽△PMN,

解:由(2)知 = ,△DCN∽△PMN時,

=

= ,

∴CN=4,

易得,△MDH∽△NCH,

= . = ,

∵CD=AB=4,

∴DH= ,CH=

由(2)②知,△APM∽△MDH,

= ,

= ,

P=


【解析】(1)先判斷出∠APM=∠DMC即可得出△APM∽△DMC,即 = ,再求出AM=MD=3,CD=4代入即可;(2)分兩種情況①判斷出,△APM∽△DMG,和△APM∽△CNG用得出的比例式化簡即可得出結(jié)論;②同①的方法即可得出結(jié)論;(3)先求出CN,再用△MDH∽△NCH求出DH,CH,最后用△APM∽△MDH即可求出結(jié)論.

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BE平分∠ABD(已知),

∴∠ABD2α(__________)

DE平分∠BDC(已知)

∴∠BDC2β (__________)

∴∠ABD+∠BDC2α2β2(α+∠β)( __________)

∵∠α+∠β90°(已知),

∴∠ABD+∠BDC180°(__________)

ABCD(____________________)

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