Question

8．閱讀下列材料解決問題：
材料：古希臘著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)把數(shù)1，3，6，10，15，21…這些數(shù)量的（石子），都可以排成三角形，則稱像這樣的數(shù)為三角形數(shù)．
把數(shù)1，3，6，10，15，21…換一種方式排列，即
1=1
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10
1+2+3+4+5=15
…
從上面的排列方式看，把1，3，6，10，15，…叫做三角形數(shù)“名副其實(shí)”
（1）設(shè)第一個(gè)三角形數(shù)為a₁=1，第二個(gè)三角形數(shù)為a₂=3，第三個(gè)三角形數(shù)為a₃=6，請直接出第n個(gè)三角形數(shù)為a_n的表達(dá)式（其中n為正整數(shù)）．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論判斷66是三角形數(shù)嗎？若是請說出66是第幾個(gè)三角形數(shù)？若不是請說明理由．
（3）根據(jù)（1）的結(jié)論判斷所有三角形數(shù)的倒數(shù)之和T與2的大小關(guān)系并說明理由．

Answer 1

分析 （1）列出部分a_n值，根據(jù)a_n的變化找出規(guī)律“a_n=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$（n為正整數(shù)）”；
（2）假設(shè)66是三角形數(shù)，結(jié)合（1）結(jié)論，令66=$\frac{n（n+1）}{2}$，解關(guān)于n的一元二次方程，即可得出n的值，從而得出結(jié)論；
（3）將$\frac{1}{{a}_{n}}$變形成兩個(gè)分?jǐn)?shù)相減的形式，求出T的值再與2進(jìn)行比較即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：a₁=1，a₂=1+2=3，a₃=1+2+3=6，a₄=1+2+3+4=10，…，
則a_n=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$（n為正整數(shù)）．
（2）假設(shè)66是三角形數(shù)，
令66=$\frac{n（n+1）}{2}$，即n²+n-132=0，
解得：n=11，或n=-12（舍去）．
則66是三角形數(shù)，66是第11個(gè)三角形數(shù)．
（3）T＜2，理由如下：
T=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
=$\frac{2}{1×2}$+$\frac{2}{2×3}$+$\frac{2}{3×4}$+…+$\frac{2}{n（+1）}$，
=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）＜2．
則所有三角形數(shù)的倒數(shù)之和T＜2．

點(diǎn)評 本題考查了規(guī)律型中的數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律“a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$（n為正整數(shù)）”．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，列出部分?jǐn)?shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵．