【題目】已知:在ABC年,∠BAC=90°,AB=AC,點D為直線BC上一動點(點D不與B、C重合).AD為邊作正方形ADEF,連接CF.

1)如圖1,當(dāng)點D在線段BC上時,求證:①BDCF. .

2)如圖2,當(dāng)點D在線段BC的延長線上時,其它條件不變,請直接寫出CF、BCCD三條線段之間的關(guān)系;

3)如圖3,當(dāng)點D在線段BC的反向延長線上時,且點A、F分別在直線BC的兩側(cè),其它條件不變:

①請直接寫出CF、BCCD三條線段之間的關(guān)系,

②若連接正方形對角線AEDF,交點為0,連接OC,探究AOC的形狀,并說明理由.

【答案】1)①見解析;②見解析;(2)見解析(3)①見解析;②見解析.

【解析】

1)①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ABC=ACB=45°,再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=AF,∠DAF=90°,然后利用同角的余角相等求出∠BAD=CAF,然后利用邊角邊證明BADCAF全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ACF=ABD,再求出∠ACF+ACB=90°,從而得證;②根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BD=CF,從而求出CF=BC-CD;
2)與(1)同理可得BD=CF,然后結(jié)合圖形可得CF=BC+CD;
3)①與(1)同理可得BD=CF,然后結(jié)合圖形可得CF=CD-BC;②根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠ABC=ACB=45°,再根據(jù)鄰補角的定義求出∠ABD=135°,再根據(jù)同角的余角相等求出∠BAD=CAF,然后利用邊角邊證明BADCAF全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ACF=ABD,再求出∠FCD=90°,然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OC=DF,再根據(jù)正方形的對角線相等求出OC=OA,從而得到△AOC是等腰三角形.

1)證明:①∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=ACB=45°,
∵四邊形ADEF是正方形,
AD=AF,∠DAF=90°
∵∠BAC=BAD+DAC=90°,
DAF=CAF+DAC=90°,
∴∠BAD=CAF,

在△BAD和△CAF中,

∴△BAD≌△CAFSAS),
∴∠ACF=ABD=45°
∴∠ACF+ACB=90°,
BDCF;
②由①△BAD≌△CAF可得BD=CF,
BD=BC-CD,
CF=BC-CD;
2)與(1)同理可得BD=CF,
所以,CF=BC+CD;
3)①與(1)同理可得,BD=CF
所以,CF=CD-BC;
②∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=ACB=45°,
則∠ABD=180°-45°=135°
∵四邊形ADEF是正方形,
AD=AF,∠DAF=90°,
∵∠BAC=BAF+CAF=90°,
DAF=BAD+BAF=90°,
∴∠BAD=CAF,

在△BAD和△CAF中,

∴△BAD≌△CAFSAS),
∴∠ACF=ABD=180°-45°=135°,
∴∠FCD=ACF-ACB=90°,
則△FCD為直角三角形,
∵正方形ADEF中,ODF中點,
OC=DF
∵在正方形ADEF中,OA=AEAE=DF,
OC=OA
∴△AOC是等腰三角形.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,⊙OABC的外接圓,O點在BC邊上,∠BAC的平分線交⊙O于點D,連接BDCD,過點DBC的平行線,與AB的延長線相交于點P

1)求證:PD是⊙O的切線;

2)求證:PBD∽△DCA;

3)當(dāng)AB=6,AC=8時,求線段PB的長.

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【題目】一次演講比賽中,評委將從演講內(nèi)容、演講能力、演講效果三方面為選手打分,各項成績均按百分制,進(jìn)入決賽的兩名選手的單項成績?nèi)缦卤硭荆?/span>

選手

演講內(nèi)容

演講能力

演講效果

85

95

95

95

85

95

(1)如果認(rèn)為這三方面的成績同等重要,從他們的成績看,誰能勝出?

(2)如果按演講內(nèi)容占50%,演講能力占40%,演講效果占10%的比例計算甲、乙的平均成績,那么誰將勝出?

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1)求證:四邊形AEBD是矩形;

2)當(dāng)∠BAC= 時,矩形AEBD是正方形.

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【題目】把一副三角板的直角頂點O重疊在一起.

(1)問題發(fā)現(xiàn):如圖①,當(dāng)OB平分COD時,AOD+BOC的度數(shù)是 ;

(2)拓展探究:如圖②,當(dāng)OB不平分COD時,AOD+BOC的度數(shù)是多少?

(3)問題解決:當(dāng)BOC的余角的4倍等于AOD時,求BOC的度數(shù).

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【題目】下表是小華同學(xué)一個學(xué)期數(shù)學(xué)成績的記錄.根據(jù)表格提供的信息,回答下列的問題:

考試類別

平時考試

期中考試

期末考試

第一單元

第二單元

第三單元

第四單元

成績(分)

85

78

90

91

90

94

(1)小明6次成績的眾數(shù)是   ,中位數(shù)是   ;

(2)求該同學(xué)這個同學(xué)這一學(xué)期平時成績的平均數(shù);

(3)總評成績權(quán)重規(guī)定如下:平時成績占20%,期中成績占30%,期末成績占50%,請計算出小華同學(xué)這一個學(xué)期的總評成績是多少分?

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【題目】已知,如圖A、B分別為數(shù)軸上的兩點,點A對應(yīng)的數(shù)為-20,點B對應(yīng)的數(shù)為120.

(1)請寫出線段AB的中點C對應(yīng)的數(shù).

(2)P從點B出發(fā),以3個單位/秒的速度向左運動,同時點Q從點A出發(fā),以2個單位/秒的速度向右運動,當(dāng)點PQ重合時對應(yīng)的數(shù)是多少?

(3)(2)的條件下,P、Q兩點運動多長時間相距50個單位長度?

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A. 242-11B. 242,11

C. D.

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(1)求證:DE是圓O的切線.

(2)若AE:EB=1:2,BC=6,求AE的長.

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