Question

【題目】在等邊中，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，直線與分別相交于點(diǎn)，且．

（1）如圖（1），寫(xiě)出圖中所有與相似的三角形，并選擇其中的一對(duì)給予證明；

（2）若直線向右平移到圖（2）、圖（3）的位置時(shí)，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立?若成立請(qǐng)寫(xiě)出來(lái)(不證明)，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）探究:如圖（1），當(dāng)滿足什么條件時(shí)(其他條件不變)，?請(qǐng)寫(xiě)出探究結(jié)果，并說(shuō)明理由(說(shuō)明:結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母)．

Answer 1

【答案】（1） △BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD；（2）均成立，分別為△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，（3）當(dāng)BD平分∠ABC時(shí)，PF=PE．

【解析】

（1）由兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形是相似三角形找出△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，這兩組三角形都可由一個(gè)公共角和一組60°角來(lái)證明；

（2）成立，證法同（1）；

（3）先看PF=PE能得出什么結(jié)論，根據(jù)△BPF∽△EBF，可得BF2=PFPE=3PF2，因此，因?yàn)?/span>，可得∠PFB=90°，則∠PBF=30°，由此可得當(dāng)BD平分∠ABC時(shí)，PF=PE．

解：（1）△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，證明如下：

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，

∵∠BPF=60°

∴∠BPF=∠EBF=60°，

∵∠BFP=∠BFE，

∴△BPF∽△EBF；

∵∠BPF=∠BCD=60°，∠PBF=∠CBD，

∴△BPF∽△BCD；

（2）均成立，分別為△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，證明如下：

如圖（2）∵∠BPF=∠EBF=60°，∠BFP=∠BFE，

∴△BPF∽△EBF；

∵∠BPF=∠BCD=60°，∠PBF=∠CBD，

∴△BPF∽△BCD．

如圖（3），同理可證△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD；

（3）當(dāng)BD平分∠ABC時(shí)，PF=PE，

理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBF=30°．

∵∠BPF=60°，∴∠BFP=90°．

∴PF=PB

又∵∠BEF=60°30°=30°=∠ABP，

∴PB=PE．

∴PF=PE．