Question

【題目】如圖，我們把一個半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”．如果一條直線與果圓只有一個交點(diǎn)，則這條直線叫做果圓的切線．已知A、B、C、D四點(diǎn)為果圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，E為半圓的圓心，拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3，AC為半圓的直徑．

（1）分別求出A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過點(diǎn)D的果圓的切線DF的解析式；
（3）若經(jīng)過點(diǎn)B的果圓的切線與x軸交于點(diǎn)M，求△OBM的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接DE，

∵y=x2﹣2x﹣3，

∴x=0時，y=﹣3，

y=0時，x1=﹣1，x2=3，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，﹣3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），

∵AC=4，

∴AE=DE=2，

∴OE=1，

∴OD= = ，

∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0， ）

（2）解：∵DF是果圓的切線，

∴ED⊥DF，又DO⊥EF，

∴DE2=EOEF，

∴EF=4，則OF=3，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣3，0），

設(shè)經(jīng)過點(diǎn)D的果圓的切線DF的解析式為y=kx+b，

則 ，

解得 ．

∴經(jīng)過點(diǎn)D的果圓的切線DF的解析式為y= x+

（3）解：設(shè)經(jīng)過點(diǎn)B的果圓的切線的解析式為：y=ax+c，

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，﹣3），

∴經(jīng)過點(diǎn)B的果圓的切線的解析式為：y=ax﹣3，

由題意得，方程組 只有一個解，

即一元二次方程x2﹣（a+2）x=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，

△=（a+2）2﹣4×1×0=0，

解得a=﹣2，

∴經(jīng)過點(diǎn)B的果圓的切線的解析式為：y=﹣2x﹣3，

當(dāng)y=0時，x=﹣ ，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣ ，0），即OM= ，

∴△OBM的面積= ×OM×OB= ．

【解析】（1）連接DE， 根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出半圓直徑AC的長，從而得出半徑AE=DE=2，算出OE的長，根據(jù)勾股定理得出OD的長，從而得出D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得出ED⊥DF，又DO⊥EF，從而判斷出△OED△DEF,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出DE2=EOEF，從而得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)D的果圓的切線DF的解析式為y=kx+b，用待定系數(shù)法求出經(jīng)過點(diǎn)D的果圓的切線DF的解析式；
（3）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)B的果圓的切線的解析式為：y=ax+c，由于直線過點(diǎn)B，故經(jīng)過點(diǎn)B的果圓的切線的解析式為：y=ax﹣3，由于y=ax﹣3與y=x2﹣2x﹣3組成的方程組只有一個解，即一元二次方程x2﹣（a+2）x=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，由根的判別式（a+2）2﹣4×1×0=0，得出a的值，從而得出經(jīng)過點(diǎn)B的果圓的切線的解析式為：y=﹣2x﹣3，進(jìn)而找到M點(diǎn)的坐標(biāo)，求出△OBM的面積。

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解三角形的面積的相關(guān)知識，掌握三角形的面積=1/2×底×高，以及對相似三角形的判定與性質(zhì)的理解，了解相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．