Question

已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90゜，以BC為直徑的⊙O交AB于D．
（1）如圖1，求證：AD=BD．
（2）如圖2，弦CE交BD于M，若S_△ABC=3S_△BCM，求

BD

CE

的值．

Answer 1

分析：（1）首先連接OD，由BC為⊙O的直徑，可得CD⊥AB，又由△ABC中，AC=BC，由三線合一，可得AD=BD；
（2）首先過點(diǎn)M作MN⊥BC于N，連接BE，易證得△CMN∽△CBE，設(shè)圓的半徑為x，然后由勾股定理求得AB的長，又由△BMN∽△BAC，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得CE與BD的長，則可求得

BD

CE

的值．

解答：（1）證明：連接OD，
∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°，
即CD⊥AB，
∵△ABC中，AC=BC，
∴AD=BD．

（2）解：過點(diǎn)M作MN⊥BC于N，連接BE．
∵BC為⊙O的直徑，
∴∠CEB=∠CNM=90°，
∵∠BCE為公共角，
∴△CMN∽△CBE，
∴

CM

BC

=

CN

CE

=

MN

BE

，
設(shè)圓的半徑為x，
則BC=AC=2x，AB=

AC2+BC2

=2

2

x，
∵S_△ABC=3S_△BCM，
∴MN=

1

3

AC，
∴MN=

2

3

x，
∵△BMN∽△BAC，
∴

BN

BC

=

MN

AC

=

1

3

，
∴

CN

BC

=

2

3

，
∴CN=

4

3

x，
在Rt△CMN中，CM=

CN2+MN2

=

2 5

3

x，
∴

CM

BC

=

CN

CE

，
∴CE=

BC•CN

CM

=

4 5

5

x，
∵BD=

1

2

AB=

2

x，
∴

BD

CE

=

2 x

4 5 5 x

=

10

4

．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．