Question

14．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-2x-6與x軸交于A．B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)）．與y軸交于點(diǎn)T，拋物線頂點(diǎn)為C．
（1）求四邊形OTCB的面積；
（2）如圖2，拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D．線段EF與PQ長度均為2，線段EF在線段DB上運(yùn)動．線段PQ在y軸上運(yùn)動，EE′，F(xiàn)F′分別垂直于x軸，交拋物線于點(diǎn)E′，F(xiàn)′，交BC于點(diǎn)M，N．請求出ME′+NF′的最大值，并求當(dāng)ME′+NF′值最大時，四邊形PNMQ周長的最小值；
（3）如圖3，連接AT，將△AOT沿x軸向右平移得到△A′O′T′，當(dāng)T′與直線BC的距離為$\frac{\sqrt{5}}{5}$時，求△A′O′T′與△BCD的重疊部分面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線解析式確定出頂點(diǎn)坐標(biāo)，對稱軸，求出OT，OB即可求出面積；
（2）先求出直線BC解析式為y=2x-12，再求出ME′+NF′=-（m-3）²+3，確定出C_{四邊形PNMQ}=PN+MN+PQ+MQ最小時的位置，從而計算即可；
（3）先判斷出△T′RS∽△CBD，從而計算出T′R=$\frac{T′S×CB}{CD}$=$\frac{1}{2}$，再分兩種情況計算即可．

解答 解：（1）如圖1，

連接OC，
∵y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-2x-6，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（2，-8），對稱軸：x=2，T（0，-6），
令y=0，A（-2，0），B（6，0），
∴OT=6，OB=6，
∴S_{四邊形OTCB}=S_△OTC+S_△OBC=$\frac{1}{2}$OT|x_c|+$\frac{1}{2}$OB|y_c|=30，
（2）設(shè)E（m，0），
∴F（m+2，0），
∵B（6，0），C（2，-8）
∴直線BC解析式為y=2x-12，
∵EE′⊥x軸，F(xiàn)F′⊥x軸，
∴M（m，2m-12），E′（m，$\frac{1}{2}$m²-2m-6），
N（m+2，2m-8），F(xiàn)′（m+2，$\frac{1}{2}$m²-8），
∴ME′=-$\frac{1}{2}$m²+4m-6，NF′=-$\frac{1}{2}$m²+2m，
∴ME′+NF′=-$\frac{1}{2}$m²+4m-6-$\frac{1}{2}$m²+2m=-（m-3）²+3，
∴當(dāng)m=3時，ME′+NF′有最大值，最大值為3，
∴E（3，0），F(xiàn)（5，0），
∴M（3，-6），N（5，-2），
∴MN=2$\sqrt{5}$，
∵EF=PQ=2，
C_{四邊形PNMQ}=PN+MN+PQ+MQ，
將N向下平移2個單位，對應(yīng)點(diǎn)N₁，
∴N₁（5，-4），
又作N₁關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)N₂，連接N₁N₂，MN₂與y軸的交點(diǎn)為P，Q，此時MN₂最小，
∴MN₂=PN+MQ，
∴N₂（-5，-4），
∴MN₂=2$\sqrt{17}$，
∴C_{四邊形PNMQ最小值}=MN2+MN+PQ2$\sqrt{17}$+2$\sqrt{5}$+2，
（3）如圖3，

∵C（2，-8），B（6，0），
∴BC=4$\sqrt{5}$，BD=4，CD=8
過T作TT′∥x軸，
∴T′到BC的距離為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
過T′作T′S⊥BC，
∴T′S=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵△T′RS∽△CBD，
∴$\frac{T′R}{CB}=\frac{T′S}{CD}$，
∵T
∴T′R=$\frac{T′S×CB}{CD}$=$\frac{1}{2}$
∵TT′∥x軸，
∴R（3，-6），
∴T′₁（$\frac{5}{2}$，-6），T′₂（$\frac{7}{2}$，-6），
①當(dāng)T′為T′₁（$\frac{5}{2}$，-6），
T′在△BCD內(nèi)部，
∴△A′OT′與△BCD重疊部分為梯形，
設(shè)AT′與CD的交點(diǎn)為G，則△A′GD∽△A′T′O′，
∴O′（$\frac{5}{2}$，0），
∴A′D=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{GD}{T′O′}=\frac{A′D}{A′O′}$，
∴GD=$\frac{9}{2}$，
∴DO′=$\frac{1}{2}$，
∴S重疊=（GD+T′O′）×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{21}{8}$；
②當(dāng)′為T′₂（$\frac{7}{2}$，-6），T′在△BCD內(nèi)部，設(shè)A′T′與CD，BC交于J，K，
T′O′與直線BC交于點(diǎn)H，
∴O′（$\frac{7}{2}$，0），A′（$\frac{3}{2}$，0），H（$\frac{7}{2}$，-5），
∴直線AT′₂為y=-3x+$\frac{9}{2}$，
∴J（2，-$\frac{3}{2}$）M
∴K（$\frac{33}{10}$，-$\frac{27}{5}$），
S重疊=S_△BCD-S_△CJK-S_△BHO′=$\frac{221}{40}$，
∴重疊面積為$\frac{21}{8}$或$\frac{221}{40}$，

點(diǎn)評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，對稱軸的確定方法，面積公式，平移，相似三角形的判定和性質(zhì)，圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，確定點(diǎn)的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．