Question

3．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+2ax+c（a＞0）的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．過點(diǎn)B的直線l與這個二次函數(shù)的圖象的另一個交點(diǎn)為D，與該圖象的對稱軸交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F，且DE：EF：FB=1：1：2．
（1）求證：點(diǎn)F為OC的中點(diǎn)；
（2）連接OE，若△OBE的面積為2，求這個二次函數(shù)的關(guān)系式；
（3）設(shè)這個二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為P，問：以DF為直徑的圓是否可能恰好經(jīng)過點(diǎn)P？若可能，請求出此時二次函數(shù)的關(guān)系式；若不可能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先得出對稱軸，再表示出D，C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用全等三角形的判定方法得出△DCF≌△BOF，進(jìn)而求出答案；
（2）首先得出F點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，進(jìn)而得出答案；
（3）由（1）可得F（0，$\frac{c}{2}$），E（-1，$\frac{3c}{4}$），再利用EP=DE，進(jìn)而得出關(guān)于a，c的等式，進(jìn)而求出答案．

解答 解：（1）如圖1，過點(diǎn)D作DM∥FO，
∵y=ax²+2ax+c=a（x+1）²+c-a，
∴它的對稱軸為x=-1，
∵DE：EF：FB=1：1：2，且DM∥NE∥OF，
∴B（2，0），且D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2，
由此可得D（-2，c），
∵點(diǎn)C（0，c），
∴D、C關(guān)于x=-1對稱，
故∠DCF=90°，
在△DCF和△BOF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFC=∠BFO}\\{∠DCF=∠FOB}\\{DC=OB}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△BOF，
∴OF=CF，
即點(diǎn)F為CO的中點(diǎn)．

（2）∵△OBE的面積為2，B（2，0），
∴E（-1，-2），
∵OF∥NE，
∴△BOF∽△BNE，
∴$\frac{FO}{EN}$=$\frac{BO}{BN}$，
∴$\frac{2}{3}$=$\frac{FO}{2}$，
解得：FO=$\frac{4}{3}$，
由此可得F（0，-$\frac{4}{3}$），C（0，-$\frac{8}{3}$），
把B（2，0），C（0，-$\frac{8}{3}$）代入y=ax²+2ax+c得
$\left\{\begin{array}{l}{4a+4a+c=0}\\{c=-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{c=-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$．
∴拋物線解析式為：y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x-$\frac{8}{3}$；

（3）以DF為直徑的圓能夠恰好經(jīng)過點(diǎn)P，
由（1）可得F（0，$\frac{c}{2}$），E（-1，$\frac{3c}{4}$），D（-2，c），
∴DE=$\sqrt{（\frac{c}{4}）^{2}+1}$，
要使以DF為直徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)P，有EP=DE=$\sqrt{（\frac{c}{4}）^{2}+1}$，
∵E（-1，$\frac{3c}{4}$），P（-1，c-a），
∴EP=$\frac{3}{4}$c-（c-a）=a-$\frac{1}{4}$c，
∴a-$\frac{1}{4}$c=$\sqrt{（\frac{c}{4}）^{2}+1}$，
另一方面，由B（2，0）可得8a+c=0，即c=-8a，
把它代入上式可得a=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴y=$\frac{\sqrt{5}}{5}{x}^{2}+\frac{2\sqrt{5}}{5}$x-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確表示出E，P點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．