Question

【題目】如圖，等邊△OAB和等邊△AFE的一邊都在x軸上，雙曲線y= （k＞0）經(jīng)過邊OB的中點(diǎn)C和AE的中點(diǎn)D．已知等邊△OAB的邊長為4．

（1）求該雙曲線所表示的函數(shù)解析式；
（2）求等邊△AEF的邊長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過點(diǎn)C作CG⊥OA于點(diǎn)G，

∵點(diǎn)C是等邊△OAB的邊OB的中點(diǎn)，

∴OC=2，∠AOB=60°，

∴OG=1，CG=OGtan60°=1 = ，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1， ），

由 = ，得：k= ，

∴該雙曲線所表示的函數(shù)解析式為y=

（2）

解：過點(diǎn)D作DH⊥AF于點(diǎn)H，設(shè)AH=a，則DH= a．

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4+a， a），

∵點(diǎn)D是雙曲線y= 上的點(diǎn)，

由xy= ，得 a（4+a）= ，

即：a2+4a﹣1=0，

解得：a1= ﹣2，a2=﹣ ﹣2（舍去），

∴AD=2AH=2 ﹣4，

∴等邊△AEF的邊長是2AD=4 ﹣8

【解析】（1）過點(diǎn)C作CG⊥OA于點(diǎn)G，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出OG、CG的長度，從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用 待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式列式計(jì)算即可得解；（2）過點(diǎn)D作DH⊥AF于點(diǎn)H，設(shè)AH=a，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)表示出DH的長度，然后表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，解方程得到a的值，從而得解．