【題目】問題探究:在邊長為4的正方形ABCD中,對角線AC、BD交于點O.
探究1:如圖1,若點P是對角線BD上任意一點,求線段AP的長的取值范圍;
探究2:如圖2,若點P是△ABC內(nèi)任意一點,點M、N分別是AB邊和對角線AC上的兩個動點,則當AP的值在探究1中的取值范圍內(nèi)變化時,△PMN的周長是否存在最小值?如果存在,請求出△PMN周長的最小值,若不存在,請說明理由;
問題解決:如圖3,在邊長為4的正方形ABCD中,點P是△ABC內(nèi)任意一點,且AP=4,點M、N分別是AB邊和對角線AC上的兩個動點,則當△PMN的周長取到最小值時,直接求四邊形AMPN面積的最大值。
【答案】(1)2≤PA≤4;(2)存在,2;(3)16–8.
【解析】
(1)當P與O重合時,PA的值最小,最小值為,當P與B或D重合時,PA的值最大,最大值為4,即可得線段AP的長的取值范圍;
(2)存在,如圖2中,作點P關(guān)于AB、AC的對稱點E、F,連接EF交AB于M,交AC于N,連接AE、AF、PA,由PM+MN+PN=EM+MN+NF=EF,推出點P位置確定時,此時△PMN的周長最小,最小值為線段EF的長,由∠PAM=∠EAM,∠PAN=∠FAN,∠BAC=45°,推出∠EAF=2∠BAC=90°,由PA=PE=PF,推出△EAF是等腰直角三角形,由PA的最小值為,可得線段EF的最小值為2,由此即可解決問題,(3)如圖3中,在圖2的基礎(chǔ)上,以A為圓心AB為半徑作⊙A,PA交EF于點O,由△MAP≌△MAE,△NAP≌△NAF,推出S四邊形AMPN=S△AEM+S△ANF=S△AEF-S△AMN,由此可以知道△AMN的面積最小時,四邊形AMPN面積最大.
(1)如圖1中,
∵四邊形ABCD是正方形,邊長為4,
∴AC⊥BD,AC=BD=4,
∴當P與O重合時,PA的值最小最小值=2,
當P與B或D重合時,PA的值最大,最大值為4,
∴2≤PA≤4.
(2)存在.
理由:如圖2中,作點P關(guān)于AB、AC的對稱點E、F,連接EF交AB于M,交AC于N,連接AE、AF、PA.
∵PM+MN+PN=EM+MN+NF=EF,
∴點P位置確定時,此時△PMN的周長最小,最小值為線段EF的長,
∵∠PAM=∠EAM,∠PAN=∠FAN,∠BAC=45°,
∴∠EAF=2∠BAC=90°,
∵PA=PE=PF,∴△EAF是等腰直角三角形,
∵PA的最小值為,∴線段EF的最小值為2,
∴△PMN的周長的最小值為2.
(3)8–(8–8)=16–8
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】數(shù)學活動–探究特殊的平行四邊形.
問題情境
如圖,在四邊形中,為對角線,,.請你添加條件,使它們成為特殊的平行四邊形.
提出問題
第一小組添加的條件是“”,則四邊形是菱形.請你證明;
第二小組添加的條件是“,”,則四邊形是正方形.請你證明.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,lA、lB分別表示A步行與B騎車在同一路上行駛的路程S與時間t的關(guān)系.
(1)B出發(fā)時與A相距______千米;
(2)走了一段路后,自行車發(fā)生故障,進行修理,所用的時間是______小時;
(3)B再次出發(fā)后______小時與A相遇;
(4)求出A行走的路程S與時間t的函數(shù)關(guān)系式(寫出過程);
(5)若B的自行車不發(fā)生故障,保持出發(fā)時的速度前進,幾小時與A相遇?在圖中表示出這個相遇點C.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某工廠甲、乙兩個部門各有員工400人,為了解這兩個部門員工的生產(chǎn)技能情況,進行了抽樣調(diào)查,過程如下,請補充完整.
收集數(shù)據(jù)
從甲、乙兩個部門各隨機抽取20名員工,進行了生產(chǎn)技能測試,測試成績(百分制)如下:
甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90
75 79 81 70 74 80 86 69 83 77
乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83
80 81 70 81 73 78 82 80 70 40
整理、描述數(shù)據(jù)
按如下分數(shù)段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù):
成績 人數(shù) 部門 | 40≤x≤49 | 50≤x≤59 | 60≤x≤69 | 70≤x≤79 | 80≤x≤89 | 90≤x≤100 |
甲 | 0 | 0 | 1 | 11 | 7 | 1 |
乙 |
(說明:成績80分及以上為生產(chǎn)技能優(yōu)秀,70--79分為生產(chǎn)技能良好,60--69分為生產(chǎn)技能合格,60分以下為生產(chǎn)技能不合格)
分析數(shù)據(jù)
兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表所示:
部門 | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) |
甲 | 78.3 | 77.5 | 75 |
乙 | 78 | 80.5 | 81 |
得出結(jié)論:
.估計乙部門生產(chǎn)技能優(yōu)秀的員工人數(shù)為____________;
.可以推斷出_____________部門員工的生產(chǎn)技能水平較高,理由為_____________.(至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為響應(yīng)綠色出行號召,越來越多市民選擇租用共享單車出行,已知某共享單車公司為市民提供了手機支付和會員卡支付兩種支付方式,如圖描述了兩種方式應(yīng)支付金額y(元)與騎行時間x(時)之間的函數(shù)關(guān)系,根據(jù)圖象回答下列問題:
(1)求手機支付金額y(元)與騎行時間x(時)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)李老師經(jīng)常騎行共享單車,請根據(jù)不同的騎行時間幫他確定選擇哪種支付方式比較合算.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩同學從A地出發(fā),騎自行車在同一條路上行駛到B地,他們離出發(fā)地的距離s(千米)和行駛時間t(小時)之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示,根據(jù)圖中提供的信息,有下列說法:
(1)他們都行駛了18千米;
(2)甲在途中停留了0.5小時;
(3)乙比甲晚出發(fā)了0.5小時;
(4)相遇后,甲的速度小于乙的速度;
(5)甲、乙兩人同時到達目的地
其中符合圖象描述的說法有( )
A. 2個B. 3個C. 4個D. 5個
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系 xOy 中,直線 y x 4與 x 軸、y 軸分別交于點 A、點 B,點 D 在 y 軸的負半軸上,若將△DAB 沿著直線 AD 折疊,點 B 恰好落在 x 軸正半軸上的點 C處.
(1)求直線 CD 的表達式;
(2)在直線 AB 上是否存在一點 P,使得 SPCD SOCD?若存在,直接寫出點 P 的坐標;若不存在,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形中,過作一直線與相交于點,過作垂直于點,過作垂直于點,在上截取,再過作垂直交于.若.則與四邊形的面積之和為________.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com