Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3經過點A(﹣3，0)，B(﹣1，0)兩點，拋物線的頂點為M，直線y＝﹣4x+9與y軸交于點C，與直線OM交于點D．

(1)求拋物線的解析式；

(2)過Q(0，3)作不平行于x軸的直線l

①如圖2，將拋物線平移，當頂點至原點時，直線l交拋物線于點E、F，在y軸上存在一點P，使△PEF的內心在y軸上，求點P的坐標；

②直線l交△CMD的邊CM、CD于點G、H(G點不與M點重合、H點不與D點重合)．S四邊形MDHG，S△CGH分別表示四邊形MDHG和△CGH的面積，試探究的最大值．

Answer 1

【答案】(1)拋物線的解析式為y＝x2+4x+3；(2)①點P坐標為(0，﹣3)；②當x＝時， 有最大值，最大值為．

【解析】

（1）將A（3，0），B（1，0）代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法即可求解；

（2）①分別寫出拋物線平移后的解析式和直線EF的解析式，過P作GH∥x軸，分別過E，F作GH的垂線，垂足分別為G，H．由內心的性質得角等，再利用相似三角形的性質可解；

②連接OG，由點C和點Q的坐標，得CQ等于2OQ，由點M和點D坐標，得MO等于OD，分別用三角形GQO的面積表示出三角形CGQ和三角形CGO的面積，

再設CG＝1，MG＝x，用含x的式子表示出相關三角形和四邊形MDHG的面積，最后將要求的比值轉化為關于x的二次函數(shù)，從而可解．

(1)∵拋物線y＝ax2+bx+3經過點A(﹣3，0)，B(﹣1，0)兩點，

∴，解得，

∴拋物線的解析式為y＝x2+4x+3．

(2)①將拋物線平移，當頂點至原點時，其解析式為y＝x2，

由EF過點(0，3)，故設其解析式為y＝kx+3(k≠0)．

設滿足條件地點P坐標為(0，t)，

如圖，過P作GH∥x軸，分別過E，F作GH的垂線，垂足分別為G，H．

∵△PEF的內心在y軸上，

∴∠GEP＝∠EPQ＝∠QPF＝∠HFP，

∴△GEP∽△HFP，

∴，

∴，

∴2xF＝(t﹣3)(xE+xF)，

由y＝x2，y＝﹣kx+3得x2﹣kx﹣3＝0，

∴xE+xF＝k，xExF＝﹣3，

∴2k(﹣3)＝(t﹣3)k

∵k≠0，∴t＝﹣3，

∴點P坐標為(0，﹣3)．

②如圖，連接OG，

∵C(0，9)Q(0，3)，

∴CQ＝2OQ，

又∵M(﹣2，﹣1)，D(2，1)，

∴MO＝OD．

設S△GQO＝S，

∴S△CGQ＝2S，S△CGO＝3S．

不妨設CG＝1，MG＝x，則S△MGO＝3xS，

∴S△CMO＝S△CQO+S△MGO＝3S+3xS＝(3x+3)S，

∴S△CMD＝2S△CMO＝(6x+6)S，

設QH＝kQG，由S△CGQ＝2S，得S△CQH＝2kS，

∴S△CGH＝(2k+2)S．

∴S四邊形MDHG＝(6x+6)S﹣(2k+2)S＝(6x﹣2k+4)S，

∴＝，①

過點Q作QK∥MD，交CD于點K，過點G作GN∥MD，交CD于點N，則QK∥GN．

∴，

∴QK＝OD＝MD；

∵GN∥MD，

∴，

∴，

∴．

∵QK∥GN，

∴，

∴，

∴k＝，

代入①式得：＝＝＝﹣x2+x+1＝，

∴當x＝時， 有最大值，最大值為．