【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C.拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是x=﹣且經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn),與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B.

(1)①直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo);②求拋物線解析式.

(2)若點(diǎn)P為直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn),連接PA,PC.求PAC的面積的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N,使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)1,0);y=x2x+2(2)當(dāng)m=﹣2時(shí),PAC的面積有最大值是4,此時(shí)P(﹣2,3).(3)存在M1(0,2),M2(﹣3,2),M3(2,﹣3),M4(5,﹣18),使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似.

【解析】

試題分析:(1)①先求的直線y=x+2與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo),然后利用拋物線的對(duì)稱性可求得點(diǎn)B的坐標(biāo);②設(shè)拋物線的解析式為y=y=a(x+4)(x﹣1),然后將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求得a的值;

(2)設(shè)點(diǎn)P、Q的橫坐標(biāo)為m,分別求得點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo),從而可得到線段PQ=m2﹣2m,然后利用三角形的面積公式可求得SPAC=×PQ×4,然后利用配方法可求得PAC的面積的最大值以及此時(shí)m的值,從而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)首先可證明ABC∽△ACO∽△CBO,然后分以下幾種情況分類討論即可:①當(dāng)M點(diǎn)與C點(diǎn)重合,即M(0,2)時(shí),MAN∽△BAC;②根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,當(dāng)M(﹣3,2)時(shí),MAN∽△ABC; ④當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí),解題時(shí),需要注意相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

解:(1)①y=當(dāng)x=0時(shí),y=2,當(dāng)y=0時(shí),x=﹣4,

C(0,2),A(﹣4,0),

由拋物線的對(duì)稱性可知:點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x=﹣對(duì)稱,

點(diǎn)B的坐標(biāo)為1,0).

拋物線y=ax2+bx+c過(guò)A(﹣4,0),B(1,0),

可設(shè)拋物線解析式為y=a(x+4)(x﹣1),

拋物線過(guò)點(diǎn)C(0,2),

2=﹣4a

a=

y=x2x+2.

(2)設(shè)P(m,m2m+2).

過(guò)點(diǎn)P作PQx軸交AC于點(diǎn)Q,

Q(m,m+2),

PQ=m2m+2﹣(m+2)

=m2﹣2m,

SPAC=×PQ×4,

=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣(m+2)2+4,

當(dāng)m=﹣2時(shí),PAC的面積有最大值是4,

此時(shí)P(﹣2,3).

(3)在RtAOC中,tanCAO=在RtBOC中,tanBCO=

∴∠CAO=BCO,

∵∠BCO+OBC=90°

∴∠CAO+OBC=90°,

∴∠ACB=90°

∴△ABC∽△ACO∽△CBO,

如下圖:

①當(dāng)M點(diǎn)與C點(diǎn)重合,即M(0,2)時(shí),MAN∽△BAC;

②根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,當(dāng)M(﹣3,2)時(shí),MAN∽△ABC;

③當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí),設(shè)M(n,n2n+2),則N(n,0)

MN=n2+n﹣2,AN=n+4

當(dāng)時(shí),MN=AN,即n2+n﹣2=(n+4)

整理得:n2+2n﹣8=0

解得:n1=﹣4(舍),n2=2

M(2,﹣3);

當(dāng)時(shí),MN=2AN,即n2+n﹣2=2(n+4),

整理得:n2﹣n﹣20=0

解得:n1=﹣4(舍),n2=5,

M(5,﹣18).

綜上所述:存在M1(0,2),M2(﹣3,2),M3(2,﹣3),M4(5,﹣18),使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似.

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